Question

（18分）如圖所示,固定的凹槽水平表面光滑,其內放置U形滑板N,滑板兩端為半徑R="0.45" m
的1/4圓弧面,A和D分別是圓弧的端點,BC段表面粗糙,其余段表面光滑,小滑塊P₁和P₂的質量均為m,滑板的質量M=4m.P₁和P₂與BC面的動摩擦因數分別為μ₁=0.10和μ₂=0.40,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力,開始時滑板緊靠槽的左端,P₂靜止在粗糙面的B點。P₁以v₀="4.0" m/s的初速度從A點沿弧面自由滑下,與P₂發生彈性碰撞后,P₁停在粗糙面B點上,當P₂滑到C點時,滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連,P₂繼續滑動,到達D點時速度為零,P₁與P₂可視為質點,取g="10" m/s²。問：

（1）P₂在BC段向右滑動時,滑板的加速度為多大？
（2）BC長度為多少？N、P₁和P₂最終靜止后,P₁與P₂間的距離為多少？

Answer 1

（1）（2）1.9m      0.695m

試題分析：　(1) P₂在BC段向右滑動時，P₁停在粗糙面B點上。將N、P₁看作整體，根據牛頓第二定律得：
  ①
  ②
(2)設P₁到達B點的速度為v，P₁從A點到達B點的過程中，根據動能定理有：
 ③
代入數據得 ④
因P₁、P₂質量相等且發生彈性碰撞，所以碰后P₁、P₂交換速度，即碰后P₂在B點的速度為：
 ⑤
設P₂在C點的速度為，P₂從C點到D點過程中根據動能定理得：
        ⑥
代入數據得        ⑦
P₂從B點到C點的過程中，N、P₁、P₂作為一個系統所受合外力為零，系統動量守恒，設P₂到達C點時N和P₁的共同速度為.根據動量守恒定律得：
      ⑧
v′為滑板與槽的右端粘連前滑板和P₁的共同速度．對P₂從B點到C點相對地面位移為由動能定理
       ⑨
P₁ 和N作為一個整體，相對地面位移為，根據動能定理則有
         ⑩
聯立⑧⑨⑩得BC長度
        ?
滑板與槽粘連后，P₁在BC上移動的距離為，根據動能定理
         ?
P₂在D點滑下后，在BC上移動的距離，根據動能定理有
         ?
聯立得系統完全靜止時P₁與P₂的間距     ?
⑥⑧⑨⑩各2分，其余各1分