Question

（2009?安慶三模）在如圖所示，x軸上方有一勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于紙面向里，大小為B，x軸下方有一勻強電場，電場強度的大小為E，方向與y軸的夾角θ為45°且斜向上方．現有一質量為m、電量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點沿y軸正方向射入磁場，該離子在磁場中運動一段時間后從x軸上的C點進入電場區域，該離子經C點時的速度方向與x軸夾角為45°．不計離子的重力，設磁場區域和電場區域足夠大． 求：
（1）C點的坐標；
（2）離子從A點出發到第三次穿越x軸時的運動時間；
（3）離子第四次穿越x軸時速度的大小及速度方向與電場方向的夾角．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強磁場中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．畫出粒子運動的軌跡，由幾何知識求出C點的坐標；
（2）粒子從A運動C，轉過225°角．第一次進入電場后，粒子先做勻減速直線運動，速度減到零后做勻加速直線運動返回，第二次穿越x軸，進入磁場后，轉過90°第二次穿越x軸進入電場．根據時間與周期的關系求出在磁場運動的時間．由牛頓定律和運動學公式求解在電場中運動的時間，再求出總時間．
（3）粒子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程是在電場中做類平拋的運動，采用運動的分解，由牛頓定律和運動學公式求解第四次穿越x軸時速度的大小及速度方向與電場方向的夾角．

解答：解：（1）磁場中帶電粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，故有qvB=m

v2

r

得  r=

mv

qB

 粒子運動軌跡如圖所示，由幾何知識知，
   xc=-(r+rcos45o)=-

(2+ 2 )mv

2qB

故C點坐標為（-

(2+ 2 )mv

2qB

，0）
（2）T=

2πm

qB

設粒子從A到C的時間為t₁，由幾何知識知：t1=

5

8

T=

5

4

πm

qB

設粒子從進入電場到返回C的時間為t₂，其在電場中做勻變速運動，由牛頓第二定律和運動學公式，有
   qE=ma  及2v₀=at₂
聯立（6）（7）解得  t2=

2mv0

qE

設粒子再次進入磁場后在磁場中運動的時間為t₃，由題意知t3=

1

4

T=

πm

2qB

所以粒子從A點到第三次穿越x軸的時間為t=t1+t2+t3=

7πm

4qB

+

2mv0

qE

（3）粒子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程是在電場中做類平拋的運動，即沿著v₀的方向（設為x′軸）以v₀做勻速運動，沿著qE的方向（設為y′軸）做初速度為0的勻加速運動
  即x'=v₀t
    y′=

1

2

qE

m

t2  
    vy′=

qE

m

t
設離子第四次穿越x軸時速度的大小為v，速度方向與電場方向的夾角為α．
由圖中幾何關系知 

y′

x′

=cos450 

y′

x′

=cos45°，v=

v 2 0 +vy′2

，tanα=

v0

vy′

綜合上述得v=

5

v0，α=arctan

1

2

答：（1）C點的坐標是（-

(2+ 2 )mv

2qB

，0）；
    （2）離子從A點出發到第三次穿越x軸時的運動時間是

7πm

4qB

+

2mv0

qE

；
    （3）離子第四次穿越x軸時速度的大小為

5

v0，速度方向與電場方向的夾角α=arctan

1

2

．

點評：本題是粒子在電場和磁場中運動的問題，電場中類平拋運動的研究方法是運動的分解，磁場中圓周運動的研究方法是畫軌跡．