Question

（2012?海南）圖（a）所示的xoy平面處于勻強磁場中，磁場方向與xoy平面（紙面）垂直，磁感應強度B隨時間t變化的周期為T，變化圖線如圖（b）所示．當B為+B₀時，磁感應強度方向指向紙外．在坐標原點O有一帶正電的粒子P，其電荷量與質量恰好等于

2π

TB0

．不計重力．設P在某時刻t₀以某一初速度沿y軸正向O點開始運動，將它經過時間T到達的點記為A．
（1）若t₀=0，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（2）若t₀=T/4，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（3）為了使直線OA與x軸的夾角為π/4，在0＜t₀＜π/4的范圍內，t₀應取何值？

Answer 1

分析：（1）粒子在里面做圓周運動，由此可以得到粒子在一個周期內的運動軌跡，進而可知夾角
（2）粒子P在t0=

T

4

時刻開始運動，在t=

T

4

到t=

T

2

時間內，沿順時針方向運動

1

4

個圓周，到達D點，此時磁場方向反轉；繼而，在t=

T

2

到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t=

5T

4

時間內，沿順時針方向運動

1

4

個圓周，到達A點，畫出圖，可得夾角
（3）若在任意時刻t=t₀（0＜t0＜

T

4

）粒子P開始運動，在t=t₀到t=

T

2

時間內，沿順時針方向做圓周運動到達C點，圓心O′位于x軸上，圓弧OC對應的圓心角為 ∠OO′C=

2π

T

(

T

2

-t0)    此時磁場方向反轉；繼而，在t=

T

2

到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t=T+t₀時間內，沿順時針方向做圓周運動到達A點，設圓O″，圓弧BA對應的圓心角為∠BO″A=

2π

T

t0，畫出圖象，可得角度，進而得到時間．

解答：解：
（1）設粒子P的質量、電荷量與初速度分別為m、q與v，粒子P在洛侖茲力作用下，在xy平面內做圓周運動，分別用R與T′表示圓周的半徑和運動周期，則有：
qvB0=mR

4π2

T′2

v=

2πR

T′

由①②式與已知條件得
T′=T
粒子P在t=0到t=

T

2

時間內，沿順時針方向運動半個圓周，到達x軸上B點，此時磁場方向反轉；繼而，在t=

T

2

到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達x軸上A，如圖（a）所示．

OA與x軸的夾角θ=0       ④
（2）粒子P在t0=

T

4

時刻開始運動，在t=

T

4

到t=

T

2

時間內，沿順時針方向運動

1

4

個圓周，到達D點，此時磁場方向反轉；繼而，在t=

T

2

到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t=

5T

4

時間內，沿順時針方向運動

1

4

個圓周，到達A點，如圖（b）所示，

由幾何關系可知，A點在y軸上，即OA與x軸的夾角 θ=

π

2

  ⑤
（3）若在任意時刻t=t₀（0＜t0＜

T

4

）粒子P開始運動，在t=t₀到t=

T

2

時間內，沿順時針方向做圓周運動到達C點，圓心O′位于x軸上，圓弧OC對應的圓心角為
∠OO′C=

2π

T

(

T

2

-t0)    ⑥
此時磁場方向反轉；繼而，在t=

T

2

到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t=T+t₀時間內，沿順時針方向做圓周運動到達A點，設圓O″，圓弧BA對應的圓心角為∠BO″A=

2π

T

t0      ⑦
如圖（c）所示，

由幾何關系可知，C、B均在O′O″連線上，且OA∥O′O″⑧
若要OA與x軸成

π

4

角，則有 ∠OO′C=

3π

4

   ⑨，聯立⑥⑨式可得
   t0=

T

8

             ⑩
答：
（1）若t₀=0，則直線OA與x軸的夾角是0
（2）若t₀=

T

4

，則直線OA與x軸的夾角是θ=

π

2

（3）為了使直線OA與x軸的夾角為

π

4

，在0＜t₀＜

π

4

的范圍內，t₀應取t0=

T

8

點評：本題是能力要求非常高的對帶電粒子在磁場中圓周運動軌跡的分析，帶電粒子在磁場中的運動，一般都會牽涉軌跡分析，但很少會有這么多的軌跡分析，軌跡分析是非常重要的技能，可以用這個題來鍛煉自己對帶電粒子在磁場中運動的軌跡分析能力．