Question

【題目】一小船渡河，河寬d=180m，水流速度v1=2.5m/s
（1）若船在靜水中的速度為v2=5m/s，求：
①欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
（2）若船在靜水中的速度v2=1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：將船實際的速度（合速度）分解為垂直河岸方向和平行河岸方向的兩個分速度，垂直分速度影響渡河的時間，而平行分速度只影響平行河岸方向的位移．

①欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向．

t= = s=36s

那么沿著水流方向的位移為x=v1t=2.5×36=90m/s；

則使船在最短的時間內渡河的位移為s= =90 m

②欲使船渡河航程最短，應垂直河岸渡河，船頭應朝上游與河岸成某一角度α．

垂直河岸過河這就要求v水平=0，所以船頭應向上游偏轉一定角度，如圖所示，有v2sinα=v1

得α=30°．

所以當船頭向上游偏30°時航程最短，s′=d=180m．

答：①欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝應朝垂直河岸方向，用36s，位移是90 m；

②欲使船渡河的航程最短，船頭應朝上游與河岸成30°，位移，180m；

（2）解：因v船＜v水，若要使船航程最短，船頭應指向上游與河岸成θ角，

如下圖所示，

cosθ= = =0.6，則θ=53°，

最短航程為xmin= = ×180m=300m

所需要的時間為t′= = =150s；

答：要使船渡河的航程最短，船頭應偏向上游53度，所用時間為150s，位移是300m．

【解析】當靜水速與河岸垂直時，渡河時間最短；若船速大于水流速度時，當合速度與河岸垂直時，渡河航程最短，若船速小于水流速度時，合速度垂直船速，對應的船航程最短，結合運動學公式與平行四邊形定則，即可求解．