Question

如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心，半徑為 r 的圓形勻強磁場區域，磁場的磁感應強度大小為 B，方向垂直于紙面向里，在 y=r 的虛線上方足夠大的范圍內，有水平向左的勻強電場，電場強度的大小為 E，現在有一質子從 O 點沿與 x 軸正方向斜向下成 30° 方向（如圖中所示）射入磁場，經過一段時間后由M點（圖中沒有標出）穿過y軸．已知質子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為 r，質子的電荷量為 e，質量為 m，不計重力、阻力．求：
（1）質子運動的初速度大小；
（2）M點的坐標；
（3）質子由O點運動到M點所用時間．

Answer 1

分析：（1）質子射入磁場后，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求解初速度的大小．
（2）沿x軸正方向射入磁場的質子，在磁場中轉過 120°角后，從 P 點再勻速運動一段距離后垂直電場線進入電場．質子進入電場做類平拋運動，根據水平方向偏轉距離等于圓周運動的半徑，畫出軌跡，由幾何知識求出質子出磁場時的位置到y軸的距離，由牛頓第二定律和運動學結合求解M點的坐標．
（3）在磁場中，根據軌跡對應的圓心角，由t=

θ

2π

T求出運動的時間；勻速運動的時間由t=

s

v

求出；由牛頓定律和運動學公式求出電場中運動的時間．

解答：解：（1）質子在磁場做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，有 Bve=m

v2

r

∴v=

Ber

m

（2）質子在磁場和電場中運動軌跡如圖所示，質子在磁場中轉過 120°角后，從 P 點再勻速運動一段距離后垂直電場線進入電場，由幾何關系得 P 點距 y 軸的距離為 x₂=r+rsin30°=1.5 r
質子在電場中做類平拋運動，所以有
   Ee=ma①
  x2=

1

2

a

t

2 3

②
由①②得t3=

3rm eE

M點的縱坐標 y=r+vt3=r+Br

3re mE

所以M點坐標為（0，r+Br

3re mE

）
（3）質子在磁場中運動時間 t1=

1

3

T=

2πm

3Be

由幾何關系得P點的縱坐標y2=r

3

2

所以質子勻速運動時間t2=

r-y2

v

=

(2- 3 )m

2Be

質子由O點運動到M點所用時間t=t1+t2+t3=

2πm

3Be

+

(2- 3 )m

2Be

+

3rm eE

答：（1）質子運動的初速度大小是

Ber

m

；
（2）M點的坐標是（0，r+Br

3re mE

）；
（3）質子由O點運動到M點所用時間是

2πm

3Be

+

(2- 3 )m

2Be

+

3rm eE

．

點評：本題是帶電粒子在電場和磁場中運動的問題，處理方法不同：電場中粒子做類平拋運動，運用運動的合成與分解．在磁場中做勻速圓周運動，畫軌跡，用牛頓定律和圓周運動知識處理．