Question

【題目】如圖所示，半徑R=1m的光滑半圓軌道AC與高h=8R的粗糙斜面軌道BD放在同一豎直平面內，BD部分水平長度為x=6R．兩軌道之間由一條光滑水平軌道相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡．在水平軌道上，輕質彈簧被a、b兩小球擠壓（不連接），處于靜止狀態．同時釋放兩個小球，a球恰好能通過半圓軌道最高點A，b球恰好能到達斜面軌道最高點B．已知a球質量為m1=2kg，b球質量為m2=1kg，小球與斜面間動摩擦因素為μ= ，重力力加速度為g=10m/s2 ． （sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）a球經過C點時對軌道的作用力
（2）釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a球恰好能到達A點，重力提供向心力，有：

m1g=m1

a球從C到A的過程，由機械能守恒定律得：

m1vC2﹣ m1vA2=m1g2R

得，小球a經過C點的速度：vC= =5 m/s

在C點，以a球為研究對象，由牛頓第二定律得：

N﹣m1g=m1

聯立解得：N=6m1g=120N

由牛頓第三定律知，a球經過C點時對軌道的作用力大小為120N，方向豎直向下．

答：a球經過C點時對軌道的作用力大小為120N，方向豎直向下．

（2）解：由數學知識可知斜面的傾角為53°，長度為10R．

對于b球沿斜面上滑的過程，由動能定理得：

0﹣ m2vb2=﹣m2g8R﹣μm2gcos53°10R

代入數據得：vb=10 m/s

彈簧釋放的過程，對于系統，由機械能守恒定律得：

Ep= m1vC2+ m2vb2

代入數據得：Ep=150J

答：釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep是150J．

【解析】（1）根據小球在豎直平面內做勻速圓周運動的臨界條件，求出在最高點的速度，整個運動過程中，機械能守恒，再結合勻速圓周運動，合外力等于向心力，列式求解。
（2）先根據幾何知識求出斜面的傾角再利用動能定理和機械能守恒定律，聯立求解彈簧的彈性勢能。