Question

【題目】地心隧道是根據凡爾納的《地心游記》所設想出的一條假想隧道，它是一條穿過地心的筆直隧道，如圖所示。假設地球的半徑為R，質量分布均勻，地球表面的重力加速度為g。已知均勻球殼對殼內物體引力為零。

(ⅰ)不計阻力，若將物體從隧道口靜止釋放，試證明物體在地心隧道中的運動為簡諧運動；

(ⅱ) 理論表明：做簡諧運動的物體的周期T=2π，其中，m為振子的質量，物體的回復力為F=－kx。求物體從隧道一端靜止釋放后到達另一端需要的時間t (地球半徑R = 6400km，地球表面的重力加速為g = 10m/ s2 ）。

Answer 1

【答案】（i）F回=-G 又M′= 解得F回= 而為常數，即物體做簡諧運動。（ii）t=2512s

【解析】

（i）以地心為平衡位置，設某時刻物體偏離平衡位置的位移為x，萬有引力提供回復力，則有

F回=-G

又M′=

解得：

F回=

而為常數，即物體做簡諧運動。

（ii）在地球表面，萬有引力等于重力

地球的質量為M=

又T=2π

解得T=2π

物體從隧道一段靜止釋放后到達另一端需要的時間為半個周期，則

t=

代入數據，可得t=2512s