Question

（2010?徐州三模）如圖所示，一根質量為m的金屬棒MN水平放置在兩根豎直的光滑平行金屬導軌上，并始終與導軌保持良好接觸，導軌間距為L，導軌下端接一阻值為R的電阻，其余電阻不計．在空間內有垂直于導軌平面的磁場，磁感應強度大小只隨豎直方向y變化，變化規律B=ky，k為大于零的常數．質量為M=4m的物體靜止在傾角θ=30°的光滑斜面上，并通過輕質光滑定滑輪和絕緣細繩與金屬棒相連接．當金屬棒沿y軸方向從y=0位置由靜止開始向上運動h時，加速度恰好為0．不計空氣阻力，斜面和磁場區域足夠大，重力加速度為g．求：
（1）金屬棒上升h時的速度；
（2）金屬棒上升h的過程中，電阻R上產生的熱量；
（3）金屬棒上升h的過程中，通過金屬棒橫截面的電量．

Answer 1

分析：（1）金屬棒的加速度為0 時，金屬棒受到的安培力等于重力與繩子的力的和；
（2）金屬棒上升的過程中，重物減小的重力勢能轉化為重物與金屬棒的動能、金屬棒的勢能與焦耳熱；
（3）通過金屬棒橫截面的電量q=

△Φ

R

，要使用電流的平均值來求出．

解答：解：
（1）當金屬棒的加速度為零時，Mgsin30°=F+mg                                               
庫侖力：F=BIL=KhIL                                             
感應電流：I=

BLv

R

=

khLv

R

                                           
解以上方程得：v=

mgR

k2h2L2

                            
（2）設產生的焦耳熱為Q，由能量的轉化與守恒得：

1

2

(M+m)v2=Mghsinθ-mgh-Q                        
解得：Q=mgh-

5m3g2R2

2k4L4h4

                   
（3）金屬棒上升h的過程中，磁通量的變化：△Φ=

.

B

Lh=

1

2

kh?Lh=

1

2

kh2L
   流過金屬棒截面的電量：q=

.

I

?△t=

. E

R

?△t                  
    

.

E

=

△Φ

△t

                                
解得：q=

kh2L

2R

答：（1）金屬棒上升h時的速度v=

mgR

k2h2L2

；
（2）金屬棒上升h的過程中，電阻R上產生的熱量mgh-

5m3g2R2

2k4L4h4

；
（3）金屬棒上升h的過程中，通過金屬棒橫截面的電量

kh2L

2R

．

點評：該題是電磁感應定律的綜合應用，涉及的公式與知識點較多．其中通過金屬棒橫截面的電量q=

△Φ

R

，要使用電流的平均值來求出是解決問題的一個關鍵．屬于中檔偏南的題目．