Question

我國自行研制的“神舟”六號載人飛船，于2005年10月12日在酒泉發射場由長征二號F型火箭發射升空．并按預定軌道環繞地球飛行5天后，安全返回，在內蒙古的主著陸場著陸．
（1）設“神舟”六號飛船在飛行過程中繞地球沿圓軌道運行，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，時間t秒內飛船繞地球運行的圈數為N，求飛船離地面的平均高度h．
（2）已知質量為m的飛船在太空中的引力勢能可表示為：Ep=-G

Mm

r

，式中G為萬有引力常量，M為地球的質量，r為飛船到地球中心的距離．那么將質量為m的飛船從地面發射到距離地面高度為h的圓形軌道上，長征二號F型火箭至少要對飛船做多少功？（不考慮地球自轉對發射的影響）．

Answer 1

（1）設飛船質量為m，地球質量為M，飛船周期為：T=

t

N

，
由萬有引力定律和牛頓第二定律對飛船的運行過程有：
G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

，
又：
G

Mm

R2

=mg，
解得飛船離地面的高度：
h=

3	gR2t2 4π2N2

-R．
（2）若將飛船由距地球無窮遠處移至距離地球表面為h處，引力做功為：
W₁=G

Mm

R+h

，
若將飛船由距地球無窮遠處移至地球表面，引力做功為：
W₂=G

Mm

R

，
所以將飛船由地球表面發射到距離地面h高的軌道上的過程中，引力做功為：
W₃=G

Mm

R+h

-G

Mm

R

，
設飛船在距離地面高為h的圓軌道上運動時的速度為v，
根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：
G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

，
設將飛船送入沿距地面高度為h的圓形軌道運動的過程中，火箭要對飛船所做的功為W，
根據動能定理有：
W+W₃=

1

2

mv²，
解得：
W=G

Mm(R+2h)

R(R+h)

．
答：
（1）設“神舟”六號飛船在飛行過程中繞地球沿圓軌道運行，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，時間t秒內飛船繞地球運行的圈數為N，求飛船離地面的平均高度h=

3	gR2t2 4π2N2

-R．
（2）已知質量為m的飛船在太空中的引力勢能可表示為：Ep=-G

Mm

r

，式中G為萬有引力常量，M為地球的質量，r為飛船到地球中心的距離．那么將質量為m的飛船從地面發射到距離地面高度為h的圓形軌道上，長征二號F型火箭至少要對飛船做功為W=G

Mm(R+2h)

R(R+h)

．