Question

如圖所示是一個設計“過山車”的試驗裝置的原理示意圖，斜面AB與豎直面內的圓形軌道在B點平滑連接，圓形軌道半徑為R．一個質量為m的小車（可視為質點）在A點由靜止釋放沿斜面滑下，A點距水平面的高度為4R，當它第一次經過B點進入圓形軌道時對軌道的壓力為其重力的7倍，小車恰能完成圓周運動并第二次經過最低點B后沿水平軌道向右運動．已知重力加速度為g，斜面軌道與底面的夾角為53⁰．（sin53°=0.8  cos53°=0.6）求：

（1）小車第一次經過B點時的速度大小v_B；
（2）小車在斜面軌道上所受阻力與其重力之比k；
（3）假設小車在豎直圓軌道左、右半圓軌道部分克服阻力做的功相等，求小車第二次經過豎直圓軌道最低點時的速度大小v′？

Answer 1

分析：（1）小車第一次經過B點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解速度v_B．
（2）小車從A點到B點的過程，重力做功mg?4R．斜面長為L=

4R

sin53°

=5R，阻力做功-kmg?5R，初動能為零，末動能為

1

2

m

v

2 B

，根據動能定理求解k．
（3）小車在右半圓軌道上向上運動過程中，重力做功-2mgR，阻力做功-W_f．小車在左半圓軌道上向上運動過程中，重力做功2mgR，阻力做功-W_f．分別運用動能定理對兩個運動過程進行研究，列方程，求出v′．

解答：解：（1）設第一次小車運動到B點的速度大小為v_B，受到的支持力為N，根據牛頓第二定律得
      N-mg=m

v 2 B

R

                    
解得  v_B=

6gR

                    
（2）小車從A點到B點的過程，根據動能定理有
    mg?4R-kmg?5R=

1

2

m

v

2 B

解得k=0.2                       
（3）設小車在圓軌道最高點的速度為v_C，由重力提供向心力，則有mg=m

v 2 C

R

解得v_c=

gR

                 
設小車在右半圓軌道上克服阻力做功W_f，對小車從B點運動到C的點過程，根據動能定理有
-mg2R-W_f=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

解得 W_f=

1

2

mgR          
設小車第二次經過B點時的速度為v′，對小車從B點運動到C點再回到B點的過程，根據動能定理有：
-2W_f=

1

2

mv′2-

1

2

m

v

2 B

解得v′=2

gR

答：
（1）小車第一次經過B點時的速度大小v_B=

6gR

；
（2）小車在斜面軌道上所受阻力與其重力之比k=0.2；
（3）假設小車在豎直圓軌道左、右半圓軌道部分克服阻力做的功相等，小車第二次經過豎直圓軌道最低點時的速度大小v′=2

gR

．

點評：涉及力在空間的效應，要優先考慮動能定理．對于圓周運動，涉及力的問題，往往根據向心力進行分析處理．難度適中．