Question

如圖所示，由兩根堅硬細桿所構成的三角形框架位于豎直平面內，∠AOB=120°，被鉛垂線OO′平分．兩個質量均為m的小環P、Q通過水平輕彈簧的作用恰好靜止在A、B兩處，相對細桿無滑動趨勢．A、B連線與OO′垂直，連線與O點的距離為h，彈簧原長為

3

h，彈簧的形變始終在彈性限度內．環與桿間的動摩擦因數μ=

3

6

，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g．試求：（1）彈簧的勁度系數k；
（2）現將兩小環沿桿下移至A′B′處，使其在豎直方向上均下移h距離，同時釋放兩環．為使環在A′B′處不移動，可將整個框架繞OO′軸旋轉，框架轉動的角速度ω的范圍是多少．

Answer 1

（1）環在A、B位置時，恰好處于平衡，根據共點力平衡得，
設彈簧的彈力為F，則有：Fcos30°=mgsin30°+μ（mgcos30°+Fsin30°）
解得F=

3 3 mg

5

，
彈簧的形變量x=2

3

h-

3

h=

3

h，
根據胡克定律得，F=kx，
解得k=

3mg

5h

．
（2）兩小環沿桿下移至A′B′處，彈簧的形變量x′=4

3

h-

3

h=3

3

h，
彈簧的彈力F′=kx′=

9 3 mg

5

，
當最大靜摩擦力沿桿向上時，根據牛頓第二定律得，水平方向上：F′+fcos30°-Nsin30°=m?2

3

hω12
豎直方向上有：fsin30°+Ncos30°=mg
f=μN
聯立解得ω₁=

29g 35h

當最大靜摩擦力沿桿向下時，根據牛頓第二定律得，水平方向上：F′-fcos30°-Nsin30°=m?2

3

hω22
豎直方向上有：fsin30°+mg=Ncos30°
f=μN，
聯立解得ω₂=

3g 5h

．
所以角速度的范圍為

3g 5h

≤ω≤

29g 35h

．
答：（1）彈簧的勁度系數為

3mg

5h

；
（2）框架轉動的角速度ω的范圍是

3g 5h

≤ω≤

29g 35h

．