Question

【題目】如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態時其右端位于B點。水平桌面右側有一豎直放置的軌道MNP，其形狀為半徑R＝1.0m的圓環剪去了左上角120°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離是h＝2.4m。用質量為m＝0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點后釋放，物塊過B點后做勻變速運動，其位移與時間的關系為s＝6t－2t2（m），物塊飛離桌面后恰好由P點沿切線落入圓軌道。（不計空氣阻力，g取10m/s2）

（1）求物塊m過B點時的瞬時速度vB及與桌面間的動摩擦因數μ；

（2）若軌道MNP光滑，求物塊經過軌道最低點N時對軌道的壓力FN；

（3）若物塊剛好能到達軌道最高點M，求物塊從B點到M點的運動過程中克服摩擦力所做的功W。

Answer 1

【答案】（1）0.4 （2）16.8N （3）2J

【解析】(1)m過B點后遵從s＝6t－2t2(m)

所以知：vB＝6m/s，a＝－4m/s2

由牛頓第二定律：μmg＝ma，解得μ＝0.4

(2)物塊豎直方向的分運動為自由落體運動，

P點速度在豎直方向的分量

P點速度在水平方向的分量vx＝vytan30°＝4m/s

解得離開D點的速度為vD＝4m/s

由機械能守恒定律，有mvN2＝mvD2＋mg(h＋R－Rcosθ)

得v N2＝74m2/s2

根據牛頓第二定律，有FN′－mg＝m

解得FN′＝16.8N

根據牛頓第三定律，FN＝FN′＝16.8N，方向豎直向下。

(3)物塊剛好能到達M點，有mg＝m

解得vM＝＝m/s

物塊到達P點的速度vP＝＝8m/s

從P到M點應用動能定理，有－mgR(1＋cosθ)－WPNM＝mvM2+mvP2

解得WPNM＝2.4J

從B到D點應用動能定理，有－WBD＝mvD2-mvB2

解得WBD＝2J