Question

【題目】如圖所示，在水平軌道右側固定半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段長度為，上面鋪設特殊材料，小物塊與其動摩擦因數為，軌道其它部分摩擦不計。水平軌道左側有一輕質彈簧左端固定，彈簧處于原長狀態。可視為質點的質量的小物塊從軌道右側A點以初速度沖上軌道，通過圓形軌道，水平軌道后壓縮彈簧，并被彈簧以原速率彈回，取，求：

（1）彈簧獲得的最大彈性勢能；

（2）小物塊被彈簧第一次彈回經過圓軌道最低點時的動能；

（3）當R滿足什么條件時，小物塊被彈簧第一次彈回圓軌道時能沿軌道運動而不會脫離軌道。

Answer 1

【答案】（1）10.5J（2）3J（3）0.3m≤R≤0.42m或0≤R≤0.12m

【解析】

（1）當彈簧被壓縮到最短時，其彈性勢能最大。從A到壓縮彈簧至最短的過程中，由動能定理得： μmgl+W彈＝0mv02
由功能關系：W彈=-△Ep=-Ep
解得 Ep=10.5J；
（2）小物塊從開始運動到第一次被彈回圓形軌道最低點的過程中，由動能定理得
2μmgl＝Ekmv02
解得 Ek=3J；
（3）小物塊第一次返回后進入圓形軌道的運動，有以下兩種情況：
①小球能夠繞圓軌道做完整的圓周運動，此時設小球最高點速度為v2，由動能定理得
2mgR＝mv22Ek
小物塊能夠經過最高點的條件m≥mg，解得 R≤0.12m
②小物塊不能夠繞圓軌道做圓周運動，為了不讓其脫離軌道，小物塊至多只能到達與圓心等高的位置，即mv12≤mgR，解得R≥0.3m；
設第一次自A點經過圓形軌道最高點時，速度為v1，由動能定理得：

2mgR＝mv12-mv02

且需要滿足 m≥mg，解得R≤0.72m，
綜合以上考慮，R需要滿足的條件為：0.3m≤R≤0.42m或0≤R≤0.12m。