Question

如圖所示，質量為m，帶電量為q（q>0）的粒子（重力不計），從離坐標原點為1.5a的 y軸上的P點，以速度大小為v₀，方向與y軸正方向成θ=30°射入xoy坐標的第一象限，經過一個在第一象限內，邊界形狀為等腰梯形方向與xoy坐標面垂直勻強磁場區域，然后沿-x方向經過坐標原點0，進入相互垂直的勻強電場和勻強磁場中，其運動軌跡為虛線所示，該電場強度為E，方向沿-y軸方向，磁感應強度為B，方向垂直坐標面向外。

（1）畫出最小的等腰梯形所處的位置和粒子運動軌跡，并求出此時的磁感應強度；
（2）粒子過坐標原點0后的運動可分解為x方向和y方向兩分運動組成，已知y方向分運動為簡諧運動；求粒子離x軸最遠距離。

Answer 1

（1）見解析 （2）

（1）設帶電粒子垂直進入磁感應強度為B的勻強磁場中，軌跡半徑為r，則有

 ① （2分）
  ②  （1分）
最小的當等腰梯形邊界如圖PMNQ所示， ③（2分）
設：此時半徑為r0 ，最大磁感應強度為B0
從圖中可得 r0+r0sinθ=1.5a   ④ （2分）
∴  r0=a    ⑤（1分）
  ⑥ （2分）
（2）設粒子運動到最高點速度為v，離x軸的距離為y0
根據動能定理    ⑦ （2分）
根據簡諧運動的對稱性，粒子在最低點和最高點加速度大小相同，方向相反，設最大加速度為a0，
根據牛頓第二定律： 在0點：qv0B-qE = ma   ⑧（2分）
在最高點：qvB+qE=ma  ⑨（2分）
由⑧⑨式解得：  ⑩（2分）
由⑦⑩解得   （2分）