Question

【題目】一質量M=2kg的長木板B靜止在光滑的水平面上，B的右端與豎直擋板的距離為S=0.5m．一個質量為m=1kg的小物體A以初速度v0=6m/s從B的左端水平滑上B，當B與豎直擋板每次碰撞時，A都沒有到達B的右端．
設定物體A可視為質點，A、B間的動摩擦因數μ=0.2，B與豎直擋板碰撞時間極短且碰撞過程中無機械能損失，g取10m/s2 ． 求：

（1）B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間，A、B的速度值各是多少？
（2）最后要使A不從B上滑下，木板B的長度至少是多少？（最后結果保留三位有效數字．）

Answer 1

【答案】
（1）解：設A、B達到共同速度為v1時，B向右運動距離為S1

由動量守恒定律有：mv0=（M+m）v1

由動能定理有：

聯立解得：S1= = m=2m

由于S=0.5m＜2m，可知B與擋板碰撞時，A、B還未達到共同速度．設B與擋板碰撞前瞬間A的速度為vA，B的速度為vB，則

由動量守恒定律有：mv0=mvA+MvB

由動能定理有：

聯立解得：vA=4m/s、vB=1m/s

答：B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間，A、B的速度值分別是4m/s、1m/s．

（2）解：B與擋板第一次碰后向左減速運動，當B速度減為零時，B向左運動的距離設為SB，由動能定理有：

由上式解得：SB=0.5m

在A的作用下B再次反向向右運動，設當A、B向右運動達到共同速度v2時B向右運動距離為S2，由動量守恒定律有：mvA﹣MvB=（M+m）v2

由動能定理有：

解得： 、

故A、B以共同速度 向右運動，B第二次與擋板碰撞后，以原速率反彈向左運動．此后由于系統的總動量向左，故最后A、B將以共同速度v3向左勻速運動．

由動量守恒定律有：（M﹣m）v2=（M+m）v3

解得：

設A在B上運動的總量程為L（即木板B的最小長度），由系統功能關系得：

代入數據解得：L=8.96m

答：最后要使A不從B上滑下，木板B的長度至少是8.96m．

【解析】（1）A在B上滑動時，以AB整體為研究對象可知，AB組成的系統動量守恒，由此可以求出AB速度相等時的速度；對B，運用動能定理可求出此過程滑行的位移，即可判斷出B與擋板碰撞時，A、B還未達到共同速度．再對系統運用動量守恒和對B運用動能定理分別列式，即可求得B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間A、B的速度值．（2）B與擋板第一次碰后向左減速運動，由動能定理可求得向左運動的最大距離．在A的作用下B再次反向向右運動，可達到共同速度，由系統的動量守恒求出共同速度．當B第二次與擋板碰撞后，B的速度立即反向，而A將繼續向右運動，此后由于系統的總動量向左，最后A、B將以共同速度v3向左勻速運動．再運用動量守恒和能量守恒求出A在B上運動的總路程，就是木板B最小的長度．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解動能定理的綜合應用的相關知識，掌握應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷，以及對動量守恒定律的理解，了解動量守恒定律成立的條件：系統不受外力或系統所受外力的合力為零；系統所受的外力的合力雖不為零，但系統外力比內力小得多；系統所受外力的合力雖不為零，但在某個方向上的分量為零，則在該方向上系統的總動量的分量保持不變．