Question

【題目】在豎直平面內，支在原點的一根彎桿，其形狀可以用函數來描寫，為有長度量綱的非零正常數，在桿上穿一滑塊，桿與滑塊間的靜摩擦因數為，如圖所示。

(1)不考慮摩擦，求滑塊的高度為時，它在沿桿方向的加速度的大小，下列5種答案中有一個是正確的，試作出判斷并說明理由：，，，，；

(2)考慮摩擦，但桿不動，在什么情況下滑塊可以在桿上靜止？（用，，，表示）

(3)現在設桿以角速度繞軸勻速轉動，且有關系，這時滑塊可以在何處相對于桿靜止？

(4)若，則滑塊不滑動的條件又如何？

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或

【解析】

(1)由分析知道在不考慮摩擦時，滑塊在桿上運動的加速度即為重力加速度的切向分量

其中為滑塊所在點桿的法線與重力方向的夾角，一般不為零，且一定不超過，當時，桿近于豎直，趨近于，于是可判斷

由此可得

，

(2)由分析知道考慮摩擦而桿不動，則滑塊靜止為靜力平衡，滑塊受重力影響有下滑趨勢，摩擦力向上，支持力和摩擦力大小分別為

，

平衡條件要求

或

設時，則滑塊靜止的條件為

(3)由分析知道當桿勻速轉動時，則在滑塊相對于桿不動時，支持力和摩擦力在豎直方向的分力之和與重力平衡，在水平方向的分力之和使滑塊產生水平的向心加速度，由此可得（不妨設摩擦力沿桿向上）

由以上二式可得，

，

當時，有，即無摩擦力。

向心加速度完全由重力和支持力的合力提供，這個關系對任何都能滿足，即此時滑塊在任何位置都相對于桿靜止。

(4)當時，，由

可知，即摩擦力實際是向下的，由于旋轉太快而滑塊上有上移的趨勢，滑塊相對靜止的條件為

即

或

此二次函數不等式的判別式為

故不等式滿足的條件為

或

用

代入，即得滑塊不滑動的條件為

或