Question

如圖所示，在y軸豎直向上的直角坐標系中，電場、磁場的分布情況如下：
①在o＜y＜α口的區域內，存在沿x軸負向的勻強電場和垂直xoy平面向里的勻強磁場；
②在y＜o區域內，存在沿y軸正向的勻強電場；
③在y＜y₁區域內，同時存在垂直xoy平面向外的勻強磁場；
各區域的電場、磁場強弱相同．一質量為m、電量為q帶正電的小球，從xoy平面內的P點以初速v₀向右拋出．小球進入0＜y＜α的復合場區沿直線運動，恰好過坐標原點，方向如圖．如果小球能夠第二次到達O點，m、α、v₀、q、g為已知量，求：
（1）p點坐標；
（2）磁感應強度B；
（3）小球兩次通過O點經歷的時間．

Answer 1

（1）帶電小球進入0＜y＜α區域時，速度方向如圖甲，



由此可知，v_y=v₀
小球由P點拋出做平拋運動．
  v_y=gt
由①②可得t=

v0

g

所以，水平位移s=v₀t=

v 20

g

垂直位移h=

v 2y

2g

=

v 20

2g

由小球沿直線運動可知，小球進入此區域時的坐標為（-α，α）．
故P點坐標為[-(

v 20

g

+a)，(

v 20

2g

+a)]⑤
（2）小球在0＜y＜α區域沿直線運動，一定是勻速直線運動，受力如圖乙所示
  qE=mg    ⑥
由qvB=

2

mg和v=

2

v0⑦
解得B=

mg

qv0

⑧
（3）小球在y＜0區域內運動如圖丙所示，先作勻速直線運動，后作勻速圓周運動，再做直線運動至O點，設其運動時間分別為t₁、t₂、t₃，⑨



由L_oc=L_ob=R，qvB=

mv2

R

，和L_ob=vt₁ ⑩
得t₁=

v0

g

（11）
T=

2πm

qB

=

2πv0

g

 （12）
t₂=

3

4

t=

3πv0

2g

 （13）
分析知t₃=t₁=

v0

g

，兩次經過O點歷時間為
t=2t₁+t₂=（2+

3π

2

）

v0

g

（14）
答：
（1）P點坐標為[-(

v 20

g

+a)，(

v 20

2g

+a)]．
（2）磁感應強度B是

mg

qv0

；
（3）小球兩次通過O點經歷的時間為（2+

3π

2

）

v0

g

．