Question

【題目】如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長度為L，水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態(tài)．小物塊A（可視為質(zhì)點）從軌道右側(cè)以初速度v0沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓形軌道．已知R=0.2m，l=1.0m，v0=2 m/s，物塊A質(zhì)量為m=1kg，與PQ段間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計，取g=10m/s2 ． 求：
（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度．
（3）物塊A仍以v0從軌道右側(cè)沖上軌道，調(diào)節(jié)PQ段的長度l，當(dāng)l滿足什么條件時，物塊A能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道．

Answer 1

【答案】
（1）解：物塊A沖上圓形軌道后回到最低點速度為v0=2 m/s，

與彈簧接觸瞬間，﹣μmgl= mv12﹣ mv02，

可得，物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小v1=2 m/s

（2）解：A被彈簧以原速率v1彈回，向右經(jīng)過PQ段，

有v22﹣v12=﹣2μgl；解得A速度 v2=2m/s，

A滑上圓形軌道，有﹣mgh=0﹣ mv22，

（也可以應(yīng)用﹣μ×mgl﹣mgh= mv22﹣ mv12）

可得，返回到右邊軌道的高度為h=0.2m=R，符合實際

（3）解：物塊A以v0沖上軌道直到回到PQ段右側(cè)，

有v1′2﹣v02=﹣2μg×2l，

可得，A回到右側(cè)速度：v1′2=（12﹣8l）（m/s）2，

要使A能返回右側(cè)軌道且能沿軌道運動而不脫離軌道，則有：

① 若A沿軌道上滑至最大高度h時，速度減為0，則h滿足：0＜h≤R，

根據(jù)機械能守恒： mv1′2=mgh聯(lián)立可得，1.0m≤l＜1.5m；

②若A能沿軌道上滑至最高點，則滿足： mv1′2=mg×2R+ mv2′2且m ≥mg，

聯(lián)立得 l≤0.25m，綜上所述，要使A物塊能第一次返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，

l滿足的條件是1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m

【解析】（1）物塊A從Q到P過程中，運用動能定理，結(jié)合摩擦力做功，從而求出物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小．（2）根據(jù)運動學(xué)公式求得回到圓軌道的速度大小，再根據(jù)動能定理求出A能夠上升的高度，并討論能否達到此高度．（3）A物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道，要么能夠越過圓軌道的最高點，要么在圓軌道中上升的高度不要超過圓軌道的半徑，結(jié)合動能定理和牛頓第二定律求出l所滿足的條件．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用向心力的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握向心力總是指向圓心，產(chǎn)生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運動的質(zhì)點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力．