Question

【題目】圖甲是某游樂場的一種“雙環過山車”設施的一部分，其運行原理可以簡化成圖乙的“小球軌道”模型。其中AB段和圓軌道不計阻力，BC、CD、DE、EF段平直軌道與小球的動摩擦因數為μ=0.2，DE段的傾角α=53°，B、C為兩豎直圓軌道1、2的最低點，LBC=LCD=6m，LDE=1m，LEF=10m，半徑R1=2m。質量為m=1kg的小球（視為質點），從軌道的右側A點由靜止開始下滑，設小球不脫離所有軌道，且不考慮D、E點的能量損失，（已知cos37°=0.8，重力加速度取g=10m/s2）試求：

（1）如果小球恰能通過第一個圓軌道，A點的高度h應是多少；

（2）要使小球不脫離第二個圓軌道，半徑R2應滿足的條件；

（3）要使小球最終停在EF段，A點的高度h應該設計為多少。

Answer 1

【答案】（1）5m；（2）R2≤1.52m或R2≥3.8m；（3）5m≤h≤5.32m

【解析】

（1）小球恰好能過豎直圓軌道，則在最高點滿足

小球從A點到最高點根據機械能守恒定律有

聯立解得h=5m

（2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：

I.軌道半徑較小時，小球恰能通過第二個圓軌道，設在最高點的速度為v2，應滿足

同時滿足，小球能通過第一軌道，根據動能定理有

或者

聯立解得R2=1.52m

II.軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R2，根據動能定理

或者

聯立解得R2=3.8m

故R2≤1.52m或R2≥3.8m

（3）如果小球停止在E點，從出發到E點，根據動能定理得

解得h=3.32m<5m

說明小球剛好到E點就過不了豎直圓軌道，如果小球停止在F點，從出發到F點根據動能定理得:

解得h=5.32m

綜上可得5m≤h≤5.32m