Question

如圖，水平地面和半圓軌道面均光滑，質(zhì)量M=1kg的小車(chē)靜止在地面上，小車(chē)上表面與t1=

R

υ 2

=

2 3 m

3qB

m的半圓軌道最低點(diǎn)P的切線(xiàn)相平．現(xiàn)有一質(zhì)量m=2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以t2=

3 R? π 3

υ

=

πm

3qB

=6m/s的初速度滑上小車(chē)左端，二者共速時(shí)小車(chē)還未與墻壁碰撞，當(dāng)小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車(chē)表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s²．
（1）求小車(chē)的最小長(zhǎng)度．
（2）討論小車(chē)的長(zhǎng)度L在什么范圍，滑塊能滑上P點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道？

Answer 1

分析：（1）滑塊在小車(chē)滑行過(guò)程，系統(tǒng)所受的合外力為零，動(dòng)量守恒，可求出共同速度．小車(chē)的長(zhǎng)度與系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能有關(guān)．當(dāng)兩者速度相同滑塊剛好滑到小車(chē)的右端時(shí)，小車(chē)的長(zhǎng)度最短，根據(jù)能量守恒求解最小長(zhǎng)度；
（2）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點(diǎn)離開(kāi)軌道，也可能滑到T點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理結(jié)合上題的結(jié)果可求出L的范圍．

解答：解：（1）設(shè)滑塊與小車(chē)的共同速度為v₁，滑塊與小車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)量守恒，有：
mυ₀=（m+M）υ₁
代入數(shù)據(jù)解得：υ₁=4m/s
設(shè)小車(chē)的最小長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁，由系統(tǒng)能量守恒定律，有：
μmgL 1=

1

2

mυ 0 2-

1

2

(m+M)υ1 2
代入數(shù)據(jù)解得：L₁=3m
（2）設(shè)小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)，滑塊與P點(diǎn)的距離為L(zhǎng)₂，若滑塊恰能滑過(guò)圓的最高點(diǎn)，
設(shè)滑至最高點(diǎn)的速度為v，臨界條件為：mg=m

υ 2

R

…①
根據(jù)動(dòng)能定理，有：-μmgL 2-mg?2R=

1

2

mυ 2-

1

2

mυ 1 2…②
①②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：L₂=1m   
這種情況下小車(chē)的長(zhǎng)度為：L=L₁+L₂=4m
若滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)就停止，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．
根據(jù)動(dòng)能定理，有：-μmgL 2-mg?R=0-

1

2

mυ 1 2
代入數(shù)據(jù)解得：L₂=2.8m        
這種情況下小車(chē)的長(zhǎng)度為：L=L₁+L₂=5.8m
若滑塊滑至P點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，由動(dòng)能定理，有：-μmgL2=0-

1

2

m

υ

2 1

解得：L₂=4m     
這種情況下小車(chē)的長(zhǎng)度為：L=L₁+L₂=7m
綜上所述，滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑必須滿(mǎn)足：3m≤L≤4m或5.8m≤L＜7m        
答：（1）小車(chē)的最小長(zhǎng)度為3m；
（2）小車(chē)的長(zhǎng)度L在3m≤L≤4m或3m≤L≤5.8m范圍，滑塊能滑上P點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道．

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到相互作用的問(wèn)題時(shí)要想到運(yùn)用動(dòng)量守恒定律并結(jié)合能量守恒定律求解，當(dāng)遇到豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)注意臨界速度的求法．該題還要注意對(duì)滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道的情景分析．