Question

如圖，水平地面和半圓軌道面均光滑，質(zhì)量M＝1kg的小車靜止在地面上，小車上表面與m的半圓軌道最低點(diǎn)P的切線相平。現(xiàn)有一質(zhì)量m＝2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以＝6m/s的初速度滑上小車左端，二者共速時(shí)小車還未與墻壁碰撞，當(dāng)小車與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，g取10m/s²．

1.求小車的最小長度。

2.討論小車的長度L在什么范圍，滑塊能滑上P點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道？

 

 

 

Answer 1

 

1.

2.或<7m 

解析:（1）設(shè)滑塊與小車的共同速度為v₁，滑塊與小車相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)量守恒，有：

  ……………………………………………………………（2分）

代入數(shù)據(jù)解得：   …………………………………………………（2分）

設(shè)小車的最小長度為L₁，由系統(tǒng)能量守恒定律，有：

 ……………………………………………（2分）

代入數(shù)據(jù)解得：  ………………………………………………………（2分）

（2）設(shè)小車與墻壁碰撞時(shí)，滑塊與P點(diǎn)的距離為L₂，若滑塊恰能滑過圓的最高點(diǎn)，設(shè)滑至最高點(diǎn)的速度為v，臨界條件為：

  …………………………………………………………………①（2分）

根據(jù)動(dòng)能定理，有：

  ……………………………………②（1分）

①②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：L₂=1m   ………………………………………………………（1分）

這種情況下小車的長度為：m 

若滑塊恰好滑至圓弧到達(dá)Ｔ點(diǎn)時(shí)就停止，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．

根據(jù)動(dòng)能定理，有：

  …………………………………………（1分）

代入數(shù)據(jù)解得： m        ………………………………………………（1分）

這種情況下小車的長度為：m  

若滑塊滑至P點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，由動(dòng)能定理，有：

  ………………………………………………………………（1分）

解得：m       ………………………………………………………………（1分）

這種情況下小車的長度為：m 

綜上所述，滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑必須滿足：

或<7m               …………………………………（2分）