Question

【題目】如圖所示，豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平軌道AB與光滑的四分之一圓弧軌道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點(diǎn)相切，軌道固定在水平面上．一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道的A端以初動(dòng)能E沖上水平軌道AB，沿著軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后停在水平軌道AB的中點(diǎn)．已知水平軌道AB長(zhǎng)為L(zhǎng)．求：

（1）小物塊與水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開(kāi)軌道，圓弧軌道的半徑R至少是多大？
（3）若圓弧軌道的半徑R取第（2）問(wèn)計(jì)算出的最小值，增大小物塊的初動(dòng)能，使得小物塊沖上軌道后可以達(dá)到最大高度是1.5R處，試求物塊的初動(dòng)能并分析物塊能否停在水平軌道上．如果能，將停在何處？如果不能，將以多大速度離開(kāi)水平軌道．

Answer 1

【答案】
（1）解：小物塊最終停在AB的中點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：﹣μmg（L+0.5L）=﹣E

得：μ=

答：小物塊與水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為 ．

（2）解：若小物塊剛好到達(dá)D處，速度為零，同理，有：﹣μmgL﹣mgR=﹣E

解得CD圓弧半徑至少為：R=

答：為了保證小物塊不從軌道的D端離開(kāi)軌道，圓弧軌道的半徑R至少是 ．

（3）解：設(shè)物塊以初動(dòng)能E′沖上軌道，可以達(dá)到的最大高度是1.5R，由動(dòng)能定理得：

﹣μmgL﹣1.5mgR=﹣E′

解得：E′=

物塊滑回C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為EC=1.5mgR= ，由于EC＜μmgL= ，故物塊將停在軌道上．

設(shè)到A點(diǎn)的距離為x，有﹣μmg（L﹣x）=﹣EC

解得：x= L

即物塊最終停在水平滑道AB上，距A點(diǎn) L處．

答：物塊最終停在水平滑道AB上，距A點(diǎn) L處．

【解析】（1）在小物塊運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，重力做功為0，摩擦力做負(fù)功﹣1.5μmgL，根據(jù)動(dòng)能定理求解μ．（2）小物塊恰好不從軌道的D端離開(kāi)軌道時(shí)，到達(dá)D點(diǎn)速度為零，由動(dòng)能定理求出R．（3）根據(jù)動(dòng)能定理求解出小物塊恰好沖上最大高度1.5R時(shí)的初動(dòng)能E′，物塊滑回C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EC=1.5mgR，分析EC與滑塊從B到A克服摩擦力做功的大小關(guān)系，即可判斷物塊能否停在水平軌道上．并能根據(jù)動(dòng)能定理求解滑塊停止在軌道何處．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握應(yīng)用動(dòng)能定理只考慮初、末狀態(tài)，沒(méi)有守恒條件的限制，也不受力的性質(zhì)和物理過(guò)程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，都可以用動(dòng)能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和機(jī)械能守恒定律簡(jiǎn)捷．