Question

[選做題]]如圖所示，兩根正對的平行金屬直軌道MN、M?N?位于同一水平面上，兩軌道之間的距離l=0.50m．軌道的MM′端之間接一阻值R=0.40Ω的定值電阻，NN′端與兩條位于豎直面內的半圓形光滑金屬軌道NP、N′P′平滑連接，兩半圓軌道的半徑均為R₀=0.50m．直軌道的右端處于豎直向下、磁感應強度B=0.64T的勻強磁場中，磁場區域的寬度d=0.80m，且其右邊界與NN′重合．現有一質量m=0.20kg、電阻r=0.10Ω的導體桿ab靜止在距磁場的左邊界s=2.0m處．在與桿垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab桿開始運動，當運動至磁場的左邊界時撤去F，結果導體ab恰好能以最小速度通過半圓形軌道的最高點PP′．已知導體桿ab在運動過程中與軌道接觸良好，且始終與軌道垂直，導體桿ab與直軌道之間的動摩擦因數μ=0.10，軌道的電阻可忽略不計，取g=10m/s²，求：
（1）導體桿剛進入磁場時，通過導體桿上的電流大小和方向；
（2）導體桿穿過磁場的過程中通過電阻R上的電荷量；
（3）導體桿穿過磁場的過程中整個電路產生的焦耳熱．

Answer 1

（1）設導體桿在 F 的作用下運動到磁場的左邊界時的速度為v₁，
根據動能定理則有（F-μmg）s=

1

2

mv₁²
導體桿剛進入磁場時產生的感應電動勢 E=Blv₁
此時通過導體桿的電流大小 I=

E

R+r

=3.8A（或3.84A）
根據右手定則可知，電流方向為 b 向 a．
（2）設導體桿在磁場中運動的時間為 t，產生的感應電動勢的平均值為

.

E

，
則由法拉第電磁感應定律有

.

E

=

△?

t

=

Bld

t

通過電阻 R 的感應電流的平均值為

.

I

=

. E

R+r

通過電阻 R 的電荷量 q=

.

I

t=0.51C
（3）設導體桿離開磁場時的速度大小為v₂，運動到圓軌道最高點的速度為v₃，
因導體桿恰好能以最小速度通過半圓形軌道的最高點，根據牛頓第二定律，
對導體桿在軌道最高點時有 mg=

mv32

R0

對于導體桿從NN′運動至 PP′的過程，根據機械能守恒定律有

1

2

mv₂²=

1

2

mv₃²+mg2R₀ 解得 v₂=5.0m/s
導體桿穿過磁場的過程中損失的機械能△E=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₂²=1.1J
此過程中電路中產生的焦耳熱為 Q=△E-μmgd=0.94J．
答：（1）導體桿剛進入磁場時，通過導體桿上的電流大小為3.8A，方向為 b 向 a；
（2）導體桿穿過磁場的過程中通過電阻R上的電荷量為0.51C；
（3）導體桿穿過磁場的過程中整個電路產生的焦耳熱為0.94J．