Question

如圖所示，光滑水平面上有一小車(chē)B，右端固定一砂箱，砂箱左側(cè)連接一水平輕彈簧，小車(chē)和砂箱的總質(zhì)量為M．車(chē)上放有一小物塊A，質(zhì)量也為M．物塊A隨小車(chē)以速度υ₀向右勻速運(yùn)動(dòng)．物塊A與其左側(cè)的車(chē)面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，與其它車(chē)面的摩擦不計(jì)．在車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，距砂面H高處有一質(zhì)量為m=

M

2

的泥球C自由下落，恰好落在砂箱中，并在極短時(shí)間內(nèi)下降h=

H

5

相對(duì)小車(chē)靜止．求：
（1）小車(chē)在前進(jìn)中，彈簧彈性勢(shì)能的最大值是多少？
（2）為使物塊A不從小車(chē)上滑下，車(chē)面粗糙部分至少多長(zhǎng)？
（3）從泥球下落至物塊相對(duì)小車(chē)靜止的全過(guò)程中，A、B、C系統(tǒng)產(chǎn)生總內(nèi)能為多少？

Answer 1

分析：1、泥球落入砂箱時(shí)，水平方向動(dòng)量守恒．由于泥球水平方向的速度為0，故碰撞后小車(chē)的速度減小．而A的速度不變（A右側(cè)無(wú)摩擦），因此，A將與彈簧碰撞，壓縮彈簧．在彈簧彈力作用下，A減速，小車(chē)加速．只要A的速度大于小車(chē)的速度，A將繼續(xù)壓縮彈簧，彈簧的彈性勢(shì)能將繼續(xù)增大．當(dāng)A的速度等于小車(chē)速度時(shí)，彈簧壓縮到最短，此時(shí)其彈性勢(shì)能最大．此后，A繼續(xù)減速，小車(chē)?yán)^續(xù)加速，A的速度小于小車(chē)的速度，彈簧的壓縮量減小，彈性勢(shì)能變小．
2、由1可知，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A必相對(duì)于小車(chē)向左滑動(dòng)．當(dāng)A滑上粗糙部分后，在摩擦力作用下，最后相對(duì)于小車(chē)靜止．從A滑上小車(chē)粗糙部分開(kāi)始到相對(duì)小車(chē)靜止的過(guò)程中，A相對(duì)于小車(chē)滑行的距離即為所要求的最小距離．
3、根據(jù)能量守恒列出等式求解．

解答：解：（1）依題意，當(dāng)A與小車(chē)的速度再次相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大．
泥球落入砂箱過(guò)程中，車(chē)與泥球系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒．
設(shè)泥球落入砂箱后車(chē)速為v₁．有：
Mv₀=（M+m）v₁
從A開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到兩者速度相等的過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒．
設(shè)系統(tǒng)的共同速度為v₂，有：
Mv₀+（M+m）v₁=（M+M+m）v₂
E_p=

1

2

M

V

2 0

+

1

2

（M+m）

v

2 1

-

1

2

（2M+m）

v

2 2

從A開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到兩者速度相等的過(guò)程中，系統(tǒng)損失的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能．有：
E_p=

Mm2v 2 0

2(M+m)(2M+m)

（2）從彈簧壓縮最短到A受摩擦力作用而再次相對(duì)小車(chē)靜止的過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒．
因此，A相對(duì)小車(chē)靜止后，它們的共同速度必等于v₂，即此過(guò)程始、末狀態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)能未變，
因此，彈簧減少的彈性勢(shì)能通過(guò)摩擦力做功轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能．
設(shè)A相對(duì)于小車(chē)滑行的距離為L(zhǎng)．有：μMgL=E_P
L=

m2v 2 0

2μg(M+m)(2M+m)

（3）根據(jù)能量守恒得：△E=mg(H+h)+

1

2

?2M?

υ

2 0

-

1

2

(2M+m)

υ

2 2

即系統(tǒng)產(chǎn)生的總內(nèi)能為：△E=

1

5

M(3gH+

υ

2 0

)
答：（1）小車(chē)在前進(jìn)中，彈簧彈性勢(shì)能的最大值是E_p=

Mm2v 2 0

2(M+m)(2M+m)

（2）為使物塊A不從小車(chē)上滑下，車(chē)面粗糙部分至少

m2v 2 0

2μg(M+m)(2M+m)

（3）從泥球下落至物塊相對(duì)小車(chē)靜止的全過(guò)程中，A、B、C系統(tǒng)產(chǎn)生總內(nèi)能為△E=

1

5

M(3gH+

υ

2 0

)

點(diǎn)評(píng)：解決該題關(guān)鍵要掌握動(dòng)量守恒和能量守恒列出等式求解，注意小球掉小車(chē)的過(guò)程中是小球與車(chē)水平方向的動(dòng)量守恒．