Question

如圖所示，光滑水平面與一半徑為R處在豎平面內的光滑圓軌道相切，質量為m的小球（可視為質點）以初速度v₀向右運動進入圓軌道，在圖中虛線位置脫離軌道，重力加速度為g，下述說法正確的是（　　）

• A．初速度v₀應滿足

  2gR

  ＜v0＜

  5gR

• B．小球脫離軌道后做平拋運動
• C．小球脫離軌道時的速度大小為v=

  v 2 0 -2gR 3

• D．在脫離軌道之前小球對軌道的壓力大小保持不變

Answer 1

分析：在圖中虛線位置脫離軌道要求小球能運動到圓心之上，最高點之下，根據動能定理及向心力公式求解速度范圍，小球脫離后做斜拋運動，脫落的瞬間軌道對小球的壓力恰好為零，重力的指向圓心的分量提供向心力，再結合動能定理求解此時的速度，在最低點時小球對軌道的壓力最大．

解答：解：A、若小球恰好運動到與圓心等高處，根據動能定理得：
0-

1

2

mv02=-mgR
解得：v0=

2gR

若小球恰好能運動到最高點，此時重力提供向心力，根據向心力公式得：
mg=m

v2

R

解得：v=

gR

根據動能定理得：

1

2

mv2-

1

2

mv02=-2mgR
解得：v0=

5gR

所以要使小球在圖中虛線位置脫離軌道，則初速度v₀應滿足

2gR

＜v0＜

5gR

，故A正確；
B、小球脫離后做斜拋運動，故B錯誤；
C、脫落的瞬間軌道對小球的壓力恰好為零，重力的指向圓心的分量提供向心力，則有：
mgcosθ=m

v2

R

1

2

mv2-

1

2

mv02=-mg（R+Rcosθ）
解得：v=

v 2 0 -2gR 3

，故C正確；
D、在最低點有：N-mg=m

v2

R

，此時速度最大，所以此時N也是最大的，故D錯誤．
故選AC

點評：本題主要考查了圓周運動向心力公式及動能定理的應用，知道小球脫離后做斜拋運動，脫落的瞬間軌道對小球的壓力恰好為零，重力的指向圓心的分量提供向心力，難度適中．