Question

如圖所示為我國“嫦娥一號”衛星從發射到進入月球工作軌道的過程示意圖．在發射過程中，經過一系列的加速和變軌，衛星沿繞地球“48小時軌道”在抵達近地點P時，主發動機啟動，“嫦娥一號”衛星的速度在很短時間內由v₁提高到v₂，進入“地月轉移軌道”，開始了從地球向月球的飛越．“嫦娥一號”衛星在“地月轉移軌道”上經過114小時飛行到達近月點Q時，需要及時制動，使其成為月球衛星．之后，又在繞月球軌道上的近月點Q經過兩次制動，最終進入繞月球的圓形工作軌道I．已知“嫦娥一號”衛星質量為m₀，在繞月球的圓形工作軌道I上運動的周期為T，月球的半徑r_月，月球的質量為m_月，萬有引力恒量為G．

（1）求衛星從“48小時軌道”的近地點P進入”地月轉移軌道”過程中主發動機對“嫦娥一號”衛星做的功（不計地球引力做功和衛星質量變化）；
（2）求“嫦娥一號”衛星在繞月球圓形工作軌道I運動時距月球表面的高度．

Answer 1

分析：（1）由嫦娥一號衛星沿繞地球“48小時軌道”在抵達近地點P時，主發動機啟動，“嫦娥一號”衛星的速度在很短時間內由v₁提高到v₂，進入“地月轉移軌道”，由于時間很短，故不考慮此階段引力做的功，故由動能定理可以得到此過程發動機做的功．
（2）由于已知嫦娥一號在繞月球的圓形工作軌道I上運動的周期為T，月球的半徑r_月，月球的質量為m_月，萬有引力恒量為G．由萬有引力充當向心力的周期公式可以得到衛星離地高度．

解答：解：
（1）由嫦娥一號衛星沿繞地球“48小時軌道”在抵達近地點P時，主發動機啟動，“嫦娥一號”衛星的速度在很短時間內由v₁提高到v₂，進入“地月轉移軌道”，故有動能定理可得：
W=

1

2

m0

v

2 2

-

1

2

m0

v

2 1

此即為主發動機做的功．
（2）設離地高度為h，由萬有引力充當向心力的周期公式：
G

m月m0

(r月+h)2

=m0(r月+h)

4π2

T2

解得：
h=

3	Gm月T2 4π2

-r月
答：
（1）主發動機做的功為：W=

1

2

m0

v

2 2

-

1

2

m0

v

2 1

，
（2）嫦娥一號的離地高度為：h=

3	Gm月T2 4π2

-r月

點評：重點是在求主發動機做功的時候，不要把引力做的功考慮進去，因為題目說了是很短時間，故引力做功不需要考慮．