Question

如圖所示為我國“嫦娥一號”衛星從發射到進入月球工作軌道的過程示意圖．在發射過程中，經過一系列的加速和變軌，衛星沿繞地球“48小時軌道”在抵達近地點P時，主發動機啟動，“嫦娥一號”衛星的速度在很短時間內由v₁提高到v₂，進入“地月轉移軌道”，開始了從地球向月球的飛越．“嫦娥一號”衛星在“地月轉移軌道”上經過114小時飛行到達近月點Q時，需要及時制動，使其成為月球衛星．之后，又在繞月球軌道上的近月點Q經過兩次制動，最終進入繞月球的圓形工作軌道I．已知“嫦娥一號”衛星質量為m₀，在繞月球的圓形工作軌道I上運動的周期為T，月球的半徑r_月，月球的質量為m_月，萬有引力恒量為G．

 

（1）求衛星從“48小時軌道”的近地點P進入”地月轉移軌道”過程中主發動機對“嫦娥一號”衛星做的功（不計地球引力做功和衛星質量變化）；

（2）求“嫦娥一號”衛星在繞月球圓形工作軌道I運動時距月球表面的高度；

（3）理論證明，質量為m的物體由距月球無限遠處無初速釋放，它在月球引力的作用下運動至距月球中心為r處的過程中，月球引力對物體所做的功可表示為W= G．為使“嫦娥一號”衛星在近月點Q進行第一次制動后能成為月球的衛星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道I的高度，最終進入圓形工作軌道，其第一次制動后的速度大小應滿足什么條件？

Answer 1

（1）    （2）

（3）

解析:

（1）根據動能定理，主發動機在“嫦娥一號”衛星進入地月轉移軌道過程中對衛星做的功                                    

（2）設“嫦娥一號”衛星在圓軌道??上運動時距月球表面的高度為h，根據萬有引力定律和向心力公式有

      解得：     

（3）設“嫦娥一號”衛星在近月點進行第一次制動后，在圓軌道??上運動的速度為u₁，則

    解得：                       

設“嫦娥一號”衛星在通過近月點脫離月球引力束縛飛離月球的速度為u₂，根據機械能守恒定律

=0    解得：u₂=                     

所以，“嫦娥一號”衛星在近月點進行第一次制動后的速度u應滿足的條件是：