Question

【題目】如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連。小球可以從D進入該軌道，沿軌道內側運動，從E滑出該軌道進入EF水平軌道。小球由靜止從A點釋放，已知AB長為5R，CD長為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動摩擦因數均為0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為l.8R。求：(在運算中，根號中的數值無需算出)

(1)小球滑到斜面底端C時速度的大小。

(2)小球剛到C時對軌道的作用力。

(3)要使小球在運動過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R/應該滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1） （2）6.6mg，豎直向下（3）

【解析】

試題（1）設小球到達C點時速度為v，a球從A運動至C過程，由動能定理有

（2分）

可得（1分）

（2）小球沿BC軌道做圓周運動，設在C點時軌道對球的作用力為N，由牛頓第二定律

， （2分） 其中r滿足 r+r·sin530=1.8R （1分）

聯立上式可得：N=6.6mg （1分）

由牛頓第三定律可得，球對軌道的作用力為6.6mg ，方向豎直向下。 （1分）

（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：

情況一：小球能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道。則小球b在最高點P應滿足（1分）

小球從C直到P點過程，由動能定理，有（1分）

可得（1分）

情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點時，速度減為零，然后滑回D。則由動能定理有

（1分）

（1分）

若，由上面分析可知，小球必定滑回D，設其能向左滑過DC軌道，并沿CB運動到達B點，在B點的速度為vB,，則由能量守恒定律有（1分）

由⑤⑨式，可得（1分）

故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球將在兩圓軌道之間做往返運動，小球將停在CD軌道上的某處。設小球在CD軌道上運動的總路程為S，則由能量守恒定律，有（1分）

由⑤⑩兩式，可得 S=5.6R （1分）

所以知，b球將停在D點左側，距D點0.6R處。 （1分）