Question

如圖12-1所示，有兩塊大小不同的圓形薄板(厚度不計)，質量
分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長為0.4m的輕
繩相連結。開始時，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于高度為
0.2m處。然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半徑為
R‘(r<R’<R)的圓孔，圓孔與兩薄板中心均在圓板中心軸線上，木
板與支架發生沒有機械能損失的碰撞。碰撞后，兩板即分離，直到
輕繩繃緊。在輕繩繃緊的瞬間，兩物體具有共同速度V，如圖12-2所示。
求：(1)若M=m，則V值為多大 (2)若M/m=K，試討論 V的方向與K值間的關系。

Answer 1

（1）V=
（2）①K＜3時，V＞0，兩板速度方向向下。
②K＞3時，V＜0，兩板速度方向向上。
③K=3時，V=0，兩板瞬時速度為零，接著再自由下落。

開始 M與m自由下落，機械能守恒。M與支架C碰撞后，M以原速率返回，向上做勻減速運動。m向下做勻加速運動。在繩繃緊瞬間，內力(繩拉力)很大，可忽略重力，認為在豎直方向上M與m系統動量守恒。(1)據機械能守恒：(M+m)gh=(M+m)V₀²所以，V₀==2m/s
M碰撞支架后以Vo返回作豎直上拋運動，m自由下落做勻加速運動。在繩繃緊瞬間，M速度為V₁，上升高度為h₁，m的速度為V₂，下落高度為h₂。則：
　　h₁+h₂=0.4m，h₁=V₀t-gt²，h₂=V₀t+gt²，而h₁+h₂=2V₀t，
故：
所以：V₁=V₀-gt="2-10×0.1=1m/s" V₂=V₀+gt=2+10×0.1=3m/s
根據動量守恒，取向下為正方向，mV₂-MV₁=(M+m)V，所以
那么當m=M時，V=1m/s；當M/m=K時，V=。
討論：①K＜3時，V＞0，兩板速度方向向下。
②K＞3時，V＜0，兩板速度方向向上。
③K=3時，V=0，兩板瞬時速度為零，接著再自由下落。