Question

【題目】如圖所示，已知傾角為θ=45°、高為h的斜面固定在水平地面上．一小球從高為H（h＜H＜h）處自由下落，與斜面做無能量損失的碰撞后水平拋出．小球自由下落的落點距斜面左側的水平距離x滿足一定條件時，小球能直接落到水平地面上．

（1）求小球落到地面上的速度大小；

（2）求要使小球做平拋運動后能直接落到水平地面上，x應滿足的條件；

（3）在滿足（2）的條件下，求小球運動的最長時間．

Answer 1

【答案】（1）小球落到地面上的速度大小為；

（2）要使小球做平拋運動后能直接落到水平地面上，x應滿足的條件為；

（3）在滿足（2）的條件下，小球運動的最長時間為2．

【解析】試題分析：（1）由于小球與斜面碰撞無能量損失，自由下落和平拋運動機械能也守恒，所以小球整個運動過程中機械能守恒，據此列式求解小球落到地面上的速度大小；

（2）小球與斜面碰撞后做平拋運動，當正好落在斜面底端時，x最小，根據平拋運動的基本公式結合幾何關系、動能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；

（3）根據豎直方向做自由落體運動，由運動學公式列出總時間的表達式，再由數學知識求解最長的時間．

解：（1）設小球落到底面的速度為v，根據機械能守恒得：

，

得：

（2）小球做自由落體的末速度為：

小球做平拋運動的時間為：

由s＞h﹣x

解得：

（3）

當H﹣h+x=h﹣x，即x=h﹣時，小球運動時間最長，

x=h﹣，符合（2）的條件

代入得：

答：

（1）小球落到地面上的速度大小為；

（2）要使小球做平拋運動后能直接落到水平地面上，x應滿足的條件為；

（3）在滿足（2）的條件下，小球運動的最長時間為2．