Question

（2010?上高縣模擬）“嫦娥一號”探月衛星在環繞月球的極地軌道上運動，由于月球的自轉，因而“嫦娥一號”衛星能探測到整個月球表面．2007年12月11日“嫦娥一號”衛星的CCD相機已對月球背面進行成像探測，并獲得了月球背面部分區域的影像圖．衛星在繞月極地軌道上做圓周運動時距月球表面高為H，繞行的周期為T_M；月球繞地公轉的周期為T_E，半徑為R₀；地球半徑為R_E，月球半徑為R_M．
試解答下列問題：
（1）若忽略地球及太陽引力對繞月衛星的影響，試求月球與地球的質量之比．
（2）若當繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直（如圖所示）時，探月衛星將向地球發送所拍攝的照片．已知光速為c，則此照片信號由探月衛星傳送到地球最短需要多長時間？

Answer 1

分析：（1）衛星繞月做圓周運動時，由月球的萬有引力提供向心力，知道距月球表面高為H，月球半徑為R_M，繞行的周期為T_M，根據由牛頓第二定律可求出月球的質量．月球繞地球公轉時，由地球的萬有引力提供向心力，由月球公轉的周期為T_E，半徑為R₀．地球半徑為R_E，根據由牛頓第二定律可求出地球的質量．
（2）根據幾何知識求出衛星到地面最短距離，再求出時間．

解答：解：（1）由牛頓第二定律有：F_向=ma_n=m(

2π

T

)2r，由萬有引力定律公式有：
F_引=G

Mm

r2

，
則月球繞地球公轉時由萬有引力提供向心力，故：
G

M月M地

R02

=M月(

2π

TE

)2R0             ①
同理對探月衛星繞月有：
G

M月M衛

(RM+H)2

=M衛(

2π

TM

)2(RM+H)    ②
由①②聯立解得：

M月

M衛

=(

TE

TM

)2(

RM+H

R0

)3
（2）如圖所示，設探月極地衛星到地心距離為L₀，則衛星到地面的最短距離為L₀-R_E，由幾何知識知：
L02=R02+(RM+H)2           ③
故將照片信號發回地面的最短時間
t=

L0-RE

c

=

R02+(RM+H)2 -RE

c

        ④
答：（1）月球與地球的質量之比為(

TE

TM

)2(

RM+H

R0

)3．
（2）此照片信號由探月衛星傳送到地球需要最短的時間為

R02+(RM+H)2 -RE

c

．

點評：本題是計算天體質量問題，關鍵是要能熟練利用萬有引力與圓周運動知識的結合求解環繞天體的質量，這是常用方法之一．