Question

（2011?長寧區(qū)一模）一質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和 B．支架的兩直角邊長度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示．開始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，不計(jì)任何阻力．轉(zhuǎn)動(dòng)中設(shè)OA邊與水平方向的夾角為θ，則當(dāng)A球速度達(dá)最大時(shí)θ為

45°

；假定支架未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩小球的總重力勢能為E_o，轉(zhuǎn)動(dòng)中當(dāng)A的速度為

8E0 9m

時(shí)兩小球的總重力勢能為E_o/3．

Answer 1

分析：當(dāng)兩個(gè)小球系統(tǒng)的質(zhì)量中心最低時(shí)速度最大；也可以用解析法，先假設(shè)轉(zhuǎn)過θ，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，列式求出速度的一般表達(dá)式，然后再對(duì)表達(dá)式進(jìn)行討論即可．

解答：解：根據(jù)題意知，A、B兩球的角速度相等，線速度之比等于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比，為2：1，小球A、B系統(tǒng)中，只有重力勢能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)θ，則OA桿與水平方向的夾角為θ，則A球減小的機(jī)械能等于B球增加的機(jī)械能，有
mg?2l?sinθ-2mg?（l-lcosθ）=

1

2

mv2+

1

2

?2m?(

v

2

)2
解得
v=

8 3 gl(sinθ+cosθ-1)

由數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)θ=45°時(shí)，sinθ+cosθ有最大值，故當(dāng)θ=45°時(shí)，A球的速度最大；
重力勢能減小

2

3

E0，故動(dòng)能增加

2

3

E0，有

2

3

E0=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

?2m?(

v1

2

)2
解得
v₁=

8E0 9m

故答案為：45°，

8E0 9m

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵根據(jù)兩個(gè)球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，運(yùn)用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律列式得出速度與轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ之間的關(guān)系，然后根據(jù)速度表達(dá)式進(jìn)行討論．