Question

光滑的水平面上固定有左、右兩豎直擋板，擋板間距離足夠長，有一質量為M，長為L的長木板靠在左側擋板處，另有一質量為m的小物塊（可視為質點），放置在長木板的左端，已知小物塊與長木板間的動摩擦因數為μ，且M＞m，現使小物塊和長木板以共同速度v₀向右運動，設長木板與左一右擋板的碰撞中無機械能損失．重力加速度為g．
（1）將要發生第二次碰撞時，小物塊與木板的共同速度多大？
（2）為使小物塊最終不從長木板上落下，板長L應滿足什么條件？
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．計算整個系統在剛要發生第四次碰撞前損失的機械能和此時物塊距離木板最左端的長度．

Answer 1

（1）選M運動方向為正方向
Mv₀-mv₀=（M+m）v₁
v1=

M-m

m+M

v0
（2）由運動過程分析可知，木板第一次撞墻后，小物塊相對木板向左滑行的距離最大，若此時的相對位移為s₁，則
μmgs1=

1

2

(M+m)

v

20

-

1

2

(m+M)

v

21

L≥s₁時，即L≥

2M

(M+m)μg

v

20

（3）二次撞前：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁
三次撞前：Mv₁-mv₁=（M+m）v₂
四次撞前：Mv₂-mv₂=（M+m）v₃
△E=

1

2

(m+M)

v

20

-

1

2

(m+M)

v

23

≈149.79J
二次撞前：相對于小車向左運動s1=

2M

(M+m)μg

v

20

三次撞前：相對于小車向右運動s2=

2M

(M+m)μg

v

21

四次撞前：相對于小車向左運動s3=

2M

(M+m)μg

v

22

由于物塊相對于小車往復運動，故四次撞前距離小車最左端長度
d=s₁-s₂+s₃
代入數據得d≈20m
答：（1）將要發生第二次碰撞時，小物塊與木板的共同速度

M-m

M+m

v0；
（2）為使小物塊最終不從長木板上落下，板長L應滿足即L≥

2M

(M+m)μg

v

20

；
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．計算整個系統在剛要發生第四次碰撞前損失的機械能149.79J；此時物塊距離木板最左端的長度約為20m．