Question

如圖所示，在空間中取直角坐標系Oxy，在第一象限內平行于y軸的虛線MN與y軸距離為d，從y軸到MN之間的區域充滿一個沿y軸正方向的勻強電場，場強大小為E．初速可忽略的電子經過一個電勢差U未確定的電場直線加速后，從y軸上的A點以垂直于電場的方向射入第一象限區域，A點坐標為（0，h），已知電子的電量為e，質量為m，（重力忽略不計），若電子可以在第一象限從MN邊界離開電場區域，求：
（1）加速電場的電勢差要滿足的條件；
（2）若滿足上述條件的加速電場的電勢差為U₀時，求電子經過x軸時離坐標原點O的距離X．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出電子由加速電場獲得的速度．電子進入圖中電場時，做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速運動，由牛頓第二定律和運動學公式結合求出電子離開電場距離x，當x＞d，電子離開有界電場．
（2）電子離開電場后做勻速直線運動，分別求出水平和豎直兩個方向的位移，再求解電子經過x軸時離坐標原點O的距離X．

解答：解：（1）以電子為研究對象，受力分析知，電子進入圖中電場時，做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速運動．
進入電場前，設加速電壓為U，進入電場的速度為v₀，在電場運動的時間為t，由動能定理得：
eU=

1

2

mv₀^2…①
進入電場后，電子做類平拋運動
所以  x=v₀t…②
y=

1

2

at²…③
a=

Ee

m

…④
當電子離開電場時，x＞d..⑤
聯立①②③④⑤解得：U＞

Ed2

4h

（2）當電子離開電場后，做勻速直線運動．運動軌跡如圖所示．
設離開電場的夾角為θ，所以tanθ=

vy

v0

=

at

v0

=

Ed

2U0

   
電子在電場的偏轉距離 y=

at2

2

=

Ee

2m

(

d

v 0

)2=

Ed2

4U0

  
 電子出電場后由圖可知：Y=h-y=h-

Ed2

4U0

   
電子經過x軸時離坐標原點O的距離X為：X=d+Ycotθ=

d

2

+

2hU0

Ed

 答：（1）加速電場的電勢差要滿足的條件為U＞

Ed2

4h

；
（2）若滿足上述條件的加速電場的電勢差為U₀時，求電子經過x軸時離坐標原點O的距離X為

d

2

+

2hU0

Ed

．
．

點評：本題是帶電粒子在勻強電場中偏轉問題，明確電子的運動情況和遵循的規律即運用運動的分解法研究．