Question

如圖所示，兩平行金屬板E、F之間電壓為U，兩足夠長的平行邊界MN、PQ區域內，有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m、帶電量為+q的粒子（不計重力），由E板中央處靜止釋放，經F板上的小孔射出后，垂直進入磁場，且進入磁場時與邊界MN成60°角，最終粒子從邊界MN離開磁場．求：
（1）粒子離開電場時的速度大小v；
（2）粒子在磁場中圓周運動的半徑r和運動的時間t．
（3）兩邊界MN、PQ的最小距離d．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先在電場中加速，后進入磁場做勻速圓周運動．由動能定理求出加速獲得的速度大小．粒子離開電場后，垂直進入磁場，由洛侖茲力提供向心力，由牛頓第二定律求半徑；
（2）當粒子在磁場中的軌跡恰好也PQ相切時，兩邊界MN、PQ的距離最小，畫出粒子的運動軌跡，由幾何關系求最小距離；
（3）求出粒子圓周運動的周期，確定出軌跡的圓心角θ，由t=

θ

2π

T求磁場中運動的時間．

解答：（1）設粒子離開電場時的速度為v，由動能定理有：
qU=

1

2

mv2   
解得：v=

2qU m

   
（2）粒子離開電場后，垂直進入磁場，由洛侖茲力提供向心力有：
qBv=

mv2

r

   
 聯立解得：r=

1

B

2mU q

       
 粒子在磁場中做圓周運動的周期T=

2πr

v

  
 聯立解得：T=

2πm

qB

粒子在磁場中運動的時間t=

240°

360°

T=

4πm

3qB

  
（3）最終粒子從邊界MN離開磁場，需滿足：
d≥r+rsin30°             
聯立④⑤解得：d≥

3

2B

2mU q

兩邊界MN、PQ的最小距離d為

3

2B

2mU q

答：（1）粒子離開電場時的速度大小v=

2qU m

；（2）粒子在磁場中圓周運動的半徑r=

1

B

2mU q

，和運動的時間t=

4πm

3qB

；（3）兩邊界MN、PQ的最小距離d=

3

2B

2mU q

．

點評：本題中帶電粒子在組合場中運動的類型，畫出粒子的運動軌跡，運用幾何知識和牛頓第二定律研究磁場中軌跡問題．