Question

【題目】一球形人造衛星的最大橫截面積為、質量為，在軌道半徑為的高空繞地球做圓周運動．由于受到稀薄空氣阻力的作用，導致衛星運行的軌道半徑逐漸變小．衛星在繞地球運轉很多圈之后，其軌道的高度下降了，由于，所以可以將衛星繞地球運動的每一圈均視為勻速圓周運動．設地球可看成質量為的均勻球體，萬有引力常量為．

（）求人造衛星在軌道半徑為的高空繞地球做圓周運動的周期．

（）取無窮遠處為零勢能點，當衛星的運行軌道半徑為時，衛星與地球組成的系統具有的勢能可表示為．請估算人造衛星由半徑為的圓軌道降低到半徑為的圓軌道的過程中，機械能的變化．

（）某同學為估算稀薄空氣對衛星的阻力大小，做出了如下假設：衛星運行軌道范圍內稀薄空氣的密度為，且為恒量；稀薄空氣可看成是由彼此不發生相互作用的顆粒組成的，所有的顆粒原來都靜止，它們與人造衛星在很短時間內發生碰撞后都具有與衛星相同的速度，在與這些顆粒碰撞的前后，衛星的速度可認為保持不變．在滿足上述假設的條件下，請估算空氣顆粒對衛星在半徑為軌道上運行時，所受阻力大小的表達式．

Answer 1

【答案】（）；（）；（）．

【解析】（）衛星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：

．

解得．

（）根據牛頓定律和萬有引力定律有．

衛星的運動能為．

勢能為．

解得．

衛星高度下降，在半徑為軌道上運行．同理可知機械為： ；

衛星軌道高度下降，其機械能的改變量為： ．

（）最大橫截面積為的衛星，經過時間從圖實線位置運動到了圖中的虛線位置．該空間區域的稀薄空氣顆粒的質量為： ．

根據動量定理有： ．

根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：

．

解得．

根據牛頓第三定律，衛星所受的阻力大小為： ．