Question

如圖是為了檢驗某種防護罩承受沖擊能力的裝置，M為半徑為R=1.0m、固定于豎直平面內的1/4光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平，N為待檢驗的固定曲面，該曲面在豎直面內的截面為半徑r=

0.69

m的1/4圓弧，圓弧下端切線水平且圓心恰好位于M軌道的上端點，M的下端相切處置放豎直向上的彈簧槍，可發射速度不同的質量m=0.01kg的小鋼珠，假設某次發射的鋼珠沿軌道恰好能經過M的上端點，水平飛出后落到N的某一點上，取g=10m/s²，求：
（1）發射該鋼珠前，彈簧的彈性勢能E_p多大？
（2）鋼珠落到圓弧上N時的速度大小v_N是多少？（結果保留兩位有效數字）

Answer 1

分析：（1）在M軌道最高點時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律列方程求解最高點的速度，然后根據機械能守恒定律列式求解彈性勢能E_p；
（2）鋼珠從最高點飛出后做平拋運動，根據平拋運動的分位移公式和合位移公式，結合數學知識x²+y²=r求出時間，再根據機械能守恒定律求解末速度v_N．

解答：解：（1）設鋼珠在M軌道最高點的速度為v，恰過最高點，有：mg=m

v2

R

從發射前到最高點，根據機械能守恒定律，得：EP=mgR+

1

2

mv2
∴EP=

3

2

mgR=0.15J
（2）鋼珠從最高點飛出后做平拋運動，有：
 

x=vt y= 1 2 gt2 且x2+y2=r2

從最高點飛出到曲面N上，由機械能守恒定律，得：mgy+

1

2

mv2=

1

2

mvN2
∴解得v_N=5.0m/s
答：（1）發射該鋼珠前，彈簧的彈性勢能E_p是0.15J．
（2）鋼珠落到圓弧上N時的速度大小v_N是5.0m/s．

點評：根據重力恰好提供向心力求解出最高點速度是突破口，然后根據機械能守恒定律和平拋運動的分位移公式列式是關鍵．