Question

如圖所示，矩形區(qū)域MNPQ內(nèi)有水平向右的勻強電場，虛線框外為真空區(qū)域；半徑為R、內(nèi)壁光滑、內(nèi)徑很小的絕緣半圓管ADB固定在豎直平面內(nèi)，直徑AB垂直于水平虛線MN，圓心O恰在MN的中點，半圓管的一半處于電場中．一質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點的帶正電電荷量為q的小球從半圓管的A點由靜止開始滑入管內(nèi)，小球從B點穿出后，能夠通過B點正下方的C點．重力加速度為g，小球在C點處的加速度大小為5g/3．求：
（1）勻強電場場強E；
（2）小球在B點時，半圓軌道對它作用力的大小；
（3）要使小球能夠到達B點正下方C點，虛線框MNPQ的高度和寬度滿足什么條件；
（4）小球從B點計時運動到C點過程中，經(jīng)多長時間小球的動能最小．

Answer 1

分析：（1）由題，小球在C點處的加速度大小為

5

3

g，根據(jù)牛頓第二定律求解電場強度．
（2）研究小球從A→B過程，根據(jù)動能定理求出小球經(jīng)過B點時的速度大小，小球到達B點時由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解軌道對它的作用力的大小；
（3）小球從B→C過程采用運動的分解法研究：水平方向做勻減速直線運動，豎直方向做自由落體運動．根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出小球水平向左運動的最大距離和豎直方向運動的距離，由幾何關(guān)系確定虛線框MNPQ的高度和寬度滿足什么條件．
（4）當(dāng)F與mg的合力與v垂直時，小球的動能最小，寫出公式，代入數(shù)據(jù)即可．

解答：解：（1）由于小球在C處受到重力和電場力的共同作用，所以：
C點：F合=ma=

(qE)2+m2g2

代入數(shù)據(jù)得：E=

4mg

3q

       
（2）A→B的過程重力和電場力對小球做功，mg?(2R)-FR=

1

2

mvB2
    得：vB=

4gR 3

在B點N-mg=

mvB2

R

   半圓軌道對小球的作用力 N=

7

3

mg
（3）小球從B→C   水平方向勻減速運動，豎直方向自由落體運動
ax=

4

3

ga_y=g
設(shè)向左減速時間為tt=

vB

ax

=

3R 4g

    x=

1

2

vBt=

R

2

    y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

寬度應(yīng)滿足條件L＞2R，
高度滿足條件H≥

5

2

R
（4）當(dāng)F與mg的合力與v垂直時，小球的動能最小，設(shè)經(jīng)過的時間為t∴vy=

4

3

vxv_y=gtvx=vB-

4

3

gt
∴t=

8

25

3R g

答：（1）勻強電場場強E=

4mg

3q

；
（2）小球在B點時，半圓軌道對它作用力的大小N=

7

3

mg；
（3）要使小球能夠到達B點正下方C點，虛線框MNPQ的高度和寬度滿足H≥

5

2

R；
（4）小球從B點計時運動到C點過程中，經(jīng)t=

8

25

3R g

時間小球的動能最小．

點評：本題采用程序法進行處理，難點是小球從B→C過程，由于小球受的是恒力，采用分解法研究．