Question

如圖所示，A為位于一定高度處的質量為m的小球，B為位于水平地面上的質量為M的長方形空心盒子，盒子足夠長，且M = 2m，盒子與地面間的動摩擦因數=0.2．盒內存在著某種力場，每當小球進入盒內，該力場將同時對小球和盒子施加一個大小為F=Mg、方向分別豎直向上和向下的恒力作用；每當小球離開盒子，該力F同時立即消失．盒子的上表面開有一系列略大于小球的小孔，孔間距滿足一定的關系，使得小球進出盒子的過程中始終不與盒子接觸．當小球A以v=1m/s的速度從孔1進入盒子的瞬間，盒子B恰以v₀=6m/s的速度向右滑行．取重力加速度g=10m/s²，小球恰能順次從各個小孔進出盒子．試求：

（1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間；
（2）盒子上至少要開多少個小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸；
（3）從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程．

Answer 1

（1）T=0.4s   （2）11個    （3）5.8m

試題分析：（1）A在盒子內運動時，根據牛頓第二定律有
解得 a = g
A在盒子內運動的時間      A在盒子外運動的時間 
A從第一次進入盒子到第二次進入盒子的時間
（2）小球在盒子內運動時，盒子的加速度=4m/s²   
小球在盒子外運動時，盒子的加速度
小球運動一個周期盒子減少的速度為
從小球第一次進入盒子到盒子停下，小球運動的周期數為
故要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數至少為2n+1個，即11個．
（3）小球第一次在盒內運動的過程中，盒子前進的距離為m
小球第一次從盒子出來時，盒子的速度m/s
小球第一次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為 =1m
小球第二次進入盒子時，盒子的速度m/s
小球第二次在盒子內運動的過程中，盒子前進的距離為 m
小球第二次從盒子出來時，盒子的速度 m/s
小球第二次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為 m
…………
分析上述各組數據可知，盒子在每個周期內通過的距離為一等差數列，公差d＝0.12m．且當盒子停下時，小球恰要進入盒內，最后0.2s內盒子通過的路程為0.04m．
所以從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程為