Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，第一象限內有豎直向下的勻強電場，場強為E=20N/C，第四象限內有一個圓形區域的勻強磁場，方向垂直紙面向外，大小為B=4

2

，未畫出來．一個帶正電的粒子質量為m=2×10^-5kg，電量為q=5×10^-3C，重力不計，從y中上的a點以v₀=10m/s的速度垂直 y 軸射入電場．Oa長度為 h=0.01m，粒子通過x軸上的b點進入第四象限，粒子經圓形磁場后從c點射出第四象限，出射的速度方向與y軸負方向成75°．（π=3.14）求：
（1）粒子通過b點時的速度大小及方向．
（2）磁場的最小面積是多少．

Answer 1

分析：（1）粒子第一象限內做類平拋運動，沿豎直方向和水平方向分解該運動，由牛頓第二定律和運動學公式結合即可求解；
（2）粒子飛入磁場做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌跡半徑，由幾何知識求出粒子在磁場中圓周運動的圓弧對應的弦長，當磁場以該弦長為直徑為時，磁場的面積為最小，即可求得圓形磁場區的最小面積．

解答：解：（1）在電場中，粒子做類平拋運動．
y軸方向有：qE=ma，h=

1

2

at2，v_y=at
聯立得：v_y=

2qEh m

=

2×5×10-3×20×0.01 2×10-5

=10m/s
過b點的速度大小為：v=

v 2 0 + v 2 y

=10

2

m/s
過b點的速度與x軸的夾角為：tanθ=

vy

v0

=1，即θ=45°
所以通過b點速度方向為與x軸成45°角；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，設圓周運動的半徑為R，由牛頓定律得：
  qvB=

mv2

R

解得：R=0.01m；
設粒子在磁場中圓周運動的圓弧對應的弦長為2r，由作圖可知：r=Rsin60°=5

3

×10^-3m
當磁場以2r為直徑為時，磁場的面積是滿足題意的最小面積，即最小面積為：
  S=πr²=2.355×10^-4m²
答：
（1）粒子通過b點時的速度大小為10

2

m/s，通過b點速度方向為與x軸成45°角．
（2）磁場的最小面積是2.355×10^-4m²．

點評：粒子在復合場中運動類型，分析粒子的受力是解題的基礎，本題的關鍵是畫出粒子的運動軌跡，運用幾何知識得到磁場面積最小的條件．