Question

（1）如圖a所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質(zhì)量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止P點(diǎn)．設(shè)滑塊所受支持力為F_N．OP與水平方向的夾角為θ．則F=

mgcotθ

，F(xiàn)_N=

mg

sinθ

．
（2）2011年4月10日，我國(guó)成功發(fā)射第8顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，建成以后北斗導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)將包含多可地球同步衛(wèi)星，這有助于減少我國(guó)對(duì)GPS導(dǎo)航系統(tǒng)的依賴，GPS由運(yùn)行周期為12小時(shí)的衛(wèi)星群組成，設(shè)北斗星的同步衛(wèi)星和GPS導(dǎo)航的軌道半徑分別為R₁和R₂，向心加速度分別為a₁和a₂，則R₁：R₂=

3	4

：1

．a(chǎn)₁：a₂=

1：

3	16

（可用根式表示）
（3）一質(zhì)量為M、傾角θ為的斜面體在水平地面上，如圖b中質(zhì)量為m的小木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在斜面上，現(xiàn)用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木塊，拉力在斜面所在的平面內(nèi)繞小木塊旋轉(zhuǎn)一周的過程中，斜面體和木塊始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，則小木塊受到斜面的最大摩擦力為

F+mgsinθ

，斜面體受到地面的最大摩擦力為

F

．

Answer 1

分析：（1）以滑塊為研究對(duì)象，分析受力情況，作出力圖．滑塊在力F的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，合力為零，由此條件列式求解力F和F_N的大小．
（2）北斗星的同步衛(wèi)星的周期為24h，根據(jù)開普勒第三定律求解R₁：R₂；根據(jù)牛頓第二定律求解a₁：a₂．
（3）分析物體的受力情況，根據(jù)平衡條件求解小木塊受到斜面的最大摩擦力和斜面體受到地面的最大摩擦力．

解答：解：（1）滑塊的受力情況如圖所示，由物體的平衡條件可得：
F_Nsinθ=mg，F(xiàn)_Ncosθ=F，
聯(lián)立解得：F_N=

mg

sinθ

，F(xiàn)=mgcotθ．
（2）北斗星的同步衛(wèi)星和GPS導(dǎo)航的周期分別為T₁=24h，T₂=12h，根據(jù)開普勒第三定律得：

T 2 1

T 2 2

=

R 3 1

R 3 2

得：

R1

R2

=

3	T 2 1 T 2 2

=

3	4

衛(wèi)星的向心力由地球的萬有引力充當(dāng)，設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星的軌道半徑為R，則
   G

Mm

R2

=ma
得，a=

GM

R2

故a₁：a₂=

R

2 2

：

R

2 1

=1：

3	16

（3）當(dāng)F沿斜面向下時(shí)，小木塊受到斜面的摩擦力最大，最大值為f_1m=F+mgsinθ；
對(duì)整體：當(dāng)F沿水平方向時(shí)，斜面受到的靜摩擦力最大，最大值為f_2m=F；
故答案為：
（1）mgcotθ，

mg

sinθ

；
（2）

3	4

：1，1：

3	16

   
（3）F+mgsinθ，F(xiàn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了物體的平衡、萬有引力的應(yīng)用等等知識(shí)．對(duì)于衛(wèi)星問題，關(guān)鍵要建立物理模型，根據(jù)牛頓第二定律、萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)進(jìn)行求解．