Question

【題目】由某種金屬材料制成的圓柱形導體，將其兩端與電源連接，會在導體內部形成勻強電場，金屬中的自由電子會在電場力作用下發生定向移動形成電流。已知電子質量為m，電荷量為e，該金屬單位體積的自由電子數為n。

（1）若電源電動勢為E，且內阻不計，

a. 求電源從正極每搬運一個自由電子到達負極過程中非靜電力所做的功W非；

b. 從能量轉化與守恒的角度推導：導體兩端的電壓U等于電源的電動勢E；

（2）經典的金屬電子論認為：在外電場（由電源提供的電場）中，金屬中的自由電子受到電場力的驅動，在原熱運動基礎上疊加定向移動，如圖所示。在定向加速運動中，自由電子與金屬正離子發生碰撞，自身停頓一下，將定向移動所獲得的能量轉移給金屬正離子，引起正離子振動加劇，金屬溫度升高。自由電子在定向移動時由于被頻繁碰撞受到阻礙作用，這就是電阻形成的原因。

自由電子定向移動的平均速率為v，熱運動的平均速率為u，發生兩次碰撞之間的平均距離為x。由于v<<u，所以自由電子發生兩次碰撞的時間間隔主要由熱運動決定。自由電子每次碰撞后的定向移動速率均變為零。

a. 求該金屬的電阻率ρ，并結合計算結果至少說明一個與金屬電阻率有關的宏觀因素；

b. 該導體長度為L，截面積為S。若將單位時間內導體中所有自由電子因與正離子碰撞而損失的動能之和設為ΔEk，導體的發熱功率設為P，試證明P=ΔEk。

Answer 1

【答案】（1）a.；b.見解析（2）a. 從計算結果可知，金屬的電阻率與金屬中單位體積的自由電子數n、自由電子熱運動平均速率u和碰撞的平均距離x有關，所以在宏觀上，電阻率與金屬的種類和溫度有關；b.見解析

【解析】（1）a.由可知，；

b. 由能量轉化與守恒定律可知，電場力做功等于非靜電力做功，即；

設電路中的電流為I，則在t時間內

所以有，即；

（2）a. 設導體長度為L，截面積為S，兩端電壓為U，通過的電流為I。

電子發生兩次碰撞之間，在原有的勻速運動（熱運動）的同時，疊加在外電場作用下由靜止開始的勻加速運動（定向移動），但因，

所以兩次碰撞的平均時間間隔，

電子在外電場中做定向移動的加速度，

電子碰撞前瞬間的定向移動速度，且，

整理可得導體兩端電壓；

設在Δt時間內流過導體的電荷量；

由可知：，代入，

與電阻定律比較，有；

從計算結果可知，金屬的電阻率與金屬中單位體積的自由電子數n、自由電子熱運動平均速率u和碰撞的平均距離x有關，所以在宏觀上，電阻率與金屬的種類和溫度有關。（只要說出一種因素即可得分）

b. 導體的發熱功率；

單位時間內一個自由電子因與正離子碰撞而損失的動能

導體中所有自由電子在單位時間內損失的動能之和

所以．