Question

（2009?東莞模擬）地球和某行星在同一軌道平面內同向繞太陽做勻速圓周運動．地球的軌道半徑為r=1.50×10¹¹m，運轉周期為T=3.16×10⁷s．地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球對該行星的觀察視角（簡稱視角），如圖甲或圖乙所示．當行星處于最大視角處時，是地球上的天文愛好者觀察該行星的最佳時期．已知某行星的最大視角為14.5°．求該行星的軌道半徑和運轉周期．（sin14.5°=0.25，最終計算結果保留兩位有效數字）

Answer 1

分析：根據題意知道當行星處于最大視角處時，地球和行星的連線應與行星軌道相切，運用幾何關系求解問題．
地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式，表示出周期，然后去進行求解．

解答：解：設行星的軌道半徑為r′，運行周期為T′
當行星處于最大視角處時，地球和行星的連線應與行星軌道相切．
由幾何關系可知：
r′=rsin14.5°=3.8×10⁸m
地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式：
G

Mm

r2

=mr

4π2

T2

，
可得：

r3

T2

=

GM

4π2

，
即：

r3

T2

=

r′3

T′2

，
可得：T′=

r′3 r3 T2

=4.0×10⁶s
答：該行星的軌道半徑是3.8×10⁸m，運轉周期是4.0×10⁶s．

點評：向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或要求解的物理量選取應用．
物理問題經常要結合數學幾何關系解決．