Question

（2012?景德鎮模擬）如圖所示，在y軸右側平面內存在方向向內的勻強磁場，磁感應強度B=0、5T，坐標原點O有一放射源，可以向y軸右側面內沿各個方向放射比荷

q

m

=4×106C/Kg的正離子，這些正離子的速率分別在零到vmax=2×106m/s的范圍內，不計離子之間的相互作用．
（1）求離子打到y軸上的范圍
（2）若在某時刻沿+x方向放射各種速率的離子，求經過t=

5π

3

×10-7s時這些離子所在位置構成的曲線方程．
（3）若從某時刻開始向y軸右側各個方向放射各種速率的離子，求經過t=

5π

3

×10-7s時已進入磁場的離子可能出現的區域面積．

Answer 1

分析：（1）由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律即可求解；
（2）根據運動的周期與運動的時間，即可求出圓心角，從而由幾何關系可確定位置坐標，由數學推導確定構成的曲線方程；
（3）根據以上條件，結合圓的面積公式可求出進入磁場的離子可能出現的區域面積．

解答：解：（1）洛倫茲力提供向心力，則有：Bqvm=m

v 2 m

R

解得：R=1m  
則離子打到y軸上的范圍為0-2m
（2）由周期公式可得，T=

2πm

qB

=π×10-6s
設這些離子經過t=

5

3

π×10-7s時，其軌跡所對應的圓心角為 θ．    
 θ=

2πt

T

=

π

3

令t時刻離子所在位置坐標為（x，y），
則x=rsinθ；  
y=r（1-cosθ）
y=

3

3

x(0≤x≤

3

2

)
（3）t時刻已進入磁場的區域，其面積
為S=

5

12

πR2+

1

6

πR2-

1

2

R×

3

2

R=(

7

12

π-

3

4

)m2
答：（1）求離子打到y軸上的范圍為0-2m；
（2）若在某時刻沿+x方向放射各種速率的離子，則經過t=

5π

3

×10-7s時這些離子所在位置構成的曲線方程y=

3

3

x(0≤x≤

3

2

)
（3）若從某時刻開始向y軸右側各個方向放射各種速率的離子，則經過t=

5π

3

×10-7s時已進入磁場的離子可能出現的區域面積為(

7

12

π-

3

4

)m2．

點評：本題掌握牛頓第二定律、向心力公式、洛倫茲力公式、勻速圓周運動周期公式，并結合幾何關系與數學推導來進行解題．