Question

【題目】如圖所示，ＡＢ和ＣＤ為兩個對稱斜面，其上部足夠長，下部分分別與一個光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧圓心角為120°，半徑Ｒ＝2.0ｍ，一個質量為ｍ＝1ｋｇ的物體在離弧高度為ｈ＝3.0ｍ處，以初速度4.0ｍ／ｓ沿斜面運動，若物體與兩斜面間的動摩擦因數μ＝0.2，重力加速度ｇ＝10ｍ／ｓ2，則

（1）物體在斜面上（不包括圓弧部分）走過路程的最大值為多少？
（2）試描述物體最終的運動情況．
（3）物體對圓弧最低點的最大壓力和最小壓力分別為多少？

Answer 1

【答案】（1）38ｍ（2）物體最終是在Ｂ、Ｃ之間的圓弧上來回做變速圓周運動，且在Ｂ、Ｃ點時速度為零．
（3）Ｎｍａｘ＝54.5Ｎ；Ｎｍｉｎ＝20Ｎ．

【解析】（1）物體在兩斜面上來回運動時，克服摩擦力所做的功Ｗｆ＝μｍｇｃｏｓ60°·ｓ總．

物體從開始直到不再在斜面上運動的過程中ｍｇｈ－Ｗｆ＝0－ｍｖ02．解得ｓ總＝38ｍ．

（2）物體最終是在Ｂ、Ｃ之間的圓弧上來回做變速圓周運動，且在Ｂ、Ｃ點時速度為零．

（3）物體第一次通過圓弧最低點時，圓弧所受壓力最大．由動能定理得

ｍｇ［ｈ＋Ｒ（1－ｃｏｓ60°）］－μｍｇ＝ｍ（ｖ12－ｖ02）

由牛頓第二定律得Ｎｍａｘ－ｍｇ＝，

解得Ｎｍａｘ＝54.5Ｎ．

物體最終在圓弧上運動時，圓弧所受壓力最小．由動能定理得

ｍｇＲ（1－ｃｏｓ60°）＝ ｍｖ22

由牛頓第二定律得Ｎｍｉｎ－ｍｇ＝ 解得Ｎｍｉｎ＝20Ｎ．