Question

飛天同學是一位航天科技愛好者，當他從新聞中得知，中國航天科技集團公司將在2010年底為青少年發射第一顆科學實驗衛星--“希望一號”衛星（代號XW-1）時，他立刻從網上搜索有關“希望一號”衛星的信息，其中一份資料中給出該衛星運行周期10.9min．他根據所學知識計算出繞地衛星的周期不可能小于83min，從而斷定此數據有誤．
已知地球的半徑R=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g=10m/s²．請你通過計算說明為什么發射一顆周期小于83min的繞地球運行的人造地球衛星是不可能的．

Answer 1

分析：航天器繞地球運行，根據萬有引力提供向心力列出等式表示出運行周期．
衛星貼地飛行的周期最小，根據地球表面上所受重力近似等于萬有引力表示出GM進行代換求解．

解答：解：設地球質量為M，航天器質量為m，航天器繞地球運行的軌道半徑為r、周期為T，
根據萬有引力定律和牛頓運動定律有

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

解得T=2π

r3 GM

 
由上式可知，軌道半徑越小，周期越小．因此，衛星貼地飛行（r=R）的周期最小，設為T_min，
則T_min=2π

R3 GM

質量為m的物體在地球表面上所受重力近似等于萬有引力，即

GMm

R2

=mg
因此有 GM=gR² 
聯立解得：T_min=2π

R g

=5024a=83.7min 
因繞地球運行的人造地球衛星最小周期為83.7min，所以發射一顆周期為83min的繞地球運行的人造地球衛星是不可能的．

點評：運用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．
向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．