Question

飛天同學是一位航天科技愛好者，當他從新聞中得知，中國航天科技集團公司將在2010年底為青少年發射第一顆科學實驗衛星--“希望一號”衛星（代號XW-1）時，他立刻從網上搜索有關“希望一號”衛星的信息，其中一份資料中給出該衛星運行周期10.9min．他根據所學知識計算出繞地衛星的周期不可能小于83min，從而斷定此數據有誤．
已知地球的半徑R=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g=10m/s²．請你通過計算說明為什么發射一顆周期小于83min的繞地球運行的人造地球衛星是不可能的．

Answer 1

設地球質量為M，航天器質量為m，航天器繞地球運行的軌道半徑為r、周期為T，
根據萬有引力定律和牛頓運動定律有

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

解得T=2π

r3 GM

 
由上式可知，軌道半徑越小，周期越小．因此，衛星貼地飛行（r=R）的周期最小，設為T_min，
則T_min=2π

R3 GM

質量為m的物體在地球表面上所受重力近似等于萬有引力，即

GMm

R2

=mg
因此有 GM=gR² 
聯立解得：T_min=2π

R g

=5024a=83.7min 
因繞地球運行的人造地球衛星最小周期為83.7min，所以發射一顆周期為83min的繞地球運行的人造地球衛星是不可能的．