Question

【題目】如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，B點(diǎn)為水平面與軌道的切點(diǎn)，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)：

（1）求推力對(duì)小球所做的功。
（2）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力所做的功最少？最小功為多少。
（3）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力最小？最小推力為多少。

Answer 1

【答案】
（1）

質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為vC，質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，

在水平方向： x=vCt 豎直方向上：2R= gt2 解得

對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C由動(dòng)能定理有 WF-mg·2R=

解得：

（2）

要使F力做功最少，確定x的取值，由WF=2mgR+ mv 知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功WF就最小。若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過(guò)C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，由牛頓第二定律有 ,則v=

有 ，解得：x=2R

當(dāng)x=2R時(shí)， WF最小，最小的功：WF= mgR

（3）

由式 ) 及WF=Fx得： )

F有最小值的條件是： 即x=4R

得最小推力為：F=mg.

【解析】（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為vC ， 質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t ，
在水平方向： x=vCt 豎直方向上：2R= gt2 解得
對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C由動(dòng)能定理有 WF-mg·2R=
解得： （2）要使F力做功最少，確定x的取值，由WF=2mgR+ mv 知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功WF就最小。若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過(guò)C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v ， 由牛頓第二定律有 ,則v=
有 ，解得：x=2R
當(dāng)x=2R時(shí)， WF最小，最小的功：WF= mgR（3）由式 ) 及WF=Fx得： )
F有最小值的條件是： 即x=4R
得最小推力為：F=mg.
本題考查了牛頓第二定律的應(yīng)用