Question

（2013?普陀區二模）根據電磁學有關知識，在某一空間放一電荷量為Q的點電荷，設無窮遠處電勢為零，則距離點電荷為r的某點的電勢公式為φ=k

Q

r

，其中k為靜電力常量．

（1）如圖甲所示，在圓心處有一電荷量為+Q的點電荷，其等勢面上a、b、c三點所在的圓半徑分別為r_a、r_b和r_c．試用題中公式證明：r越大，點電荷的等勢面越稀，即r_c-r_b＞r_b-r_a．
（2）如圖乙中虛線所示是電荷量分別為+Q和-Q的等勢面，試用題中公式證明：中垂線上任意一點P的電勢為零．
（3）若將兩個點電荷構成如圖丙所示的電偶極子模型（指電荷量為q、相距為l的一對正負點電荷組成的電結構），點電荷q₀沿以電偶極子為中心、半徑為R的半圓弧從A移動到B，試求q₀受到的電場力所做的功為多大？

Answer 1

分析：（1）根據點電荷電勢公式φ=k

Q

r

以及φ_b-φ_a=φ_c-φ_b列式后分析求解；
（2）分別假設正負電荷單獨存在，求出P點的電勢，然后相加即可；
（3）先求解出A與B兩點的電勢，然后根據W_AB=qU_AB列式求解．

解答：解：（1）根據題意，a、b、c三點的電勢分別為：φ_a=

kQ

ra

，φ_b=

kQ

rb

，φ_c=

kQ

rc

因為 φ_b-φ_a=φ_c-φ_b
所以

kQ

rb

-

kQ

ra

=

kQ

rc

-

kQ

rb

即

rb-ra

rbra

=

rc-rb

rcrb

，

rb-ra

rc-ra

=

ra

rc

由于r_c＞r_a，所以有r_c-r_b＞r_b-r_a
即離點電荷越遠的地方，等差等勢面應畫的越稀．
（2）設兩個電荷到P點的距離均為r，則
φ_p=

kQ

r

+

k(-Q)

r

=0
（3）電偶極子在A、B兩點的電勢為：
φ_A=

kq

R- l 2

+

k(-q)

R+ l 2

，φ_B=

kq

R+ l 2

+

k(-q)

R- l 2

A、B兩點的電勢差為：U_AB=φ_A-φ_B=

2kql

R2- l2 4

電場力做功為：W=qUAB=

2kq0ql

R2- l2 4

答：（1）證明如上；
（2）證明如上；
（3）q₀受到的電場力所做的功為

2kq0ql

R2- l2 4

．

點評：本題關鍵根據題意，得到單個點電荷和一對點電荷的空間任意一點的電勢表達式，然后根據據W_AB=qU_AB列式求解．