Question

如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個質量為m的物體（可以看作質點）從直軌道上的P點由靜止釋放，結果它能在兩軌道間做往返運動．已知P點與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數為μ．求：
（1）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程；
（2）最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力；
（3）為使物體能順利到達圓弧軌道的最高點D，釋放點距B點的距離L′應滿足什么條件？

Answer 1

分析：①利用動能定理求摩擦力做的功；
②對圓周運動條件的分析和應用；
③圓周運動中能過最高點的條件．

解答：解：（1）因為摩擦始終對物體做負功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復運動．
對整體過程由動能定理得
mgR?cosθ-μmgcosθ?x=0
所以總路程為x=

R

μ

．
（2）對B→E過程，由動能定理得
mgR（1-cosθ）=

1

2

mv_E^{2-------------------}①
F_N-mg=m

V 2 E

R

------------------②
由①②得對軌道壓力：F_N=（3-2cosθ）mg．
（3）設物體剛好到D點，則由向心力公式得
mg=m

V 2 D

R

------------------③
對全過程由動能定理得
mgL′sinθ-μmgcosθ?L′-mgR（1+cosθ）=

1

2

mv_D^{2-----------------------}④
由③④得最少距離L′=

3+2cosθ

2sinθ-2μcosθ

?R．
故答案為：（1）在AB軌道上通過的總路程為x=

R

μ

．
（2）對圓弧軌道的壓力為（3-2cosθ）mg
（3）釋放點距B點的距離L′至少為

3+2cosθ

2sinθ-2μcosθ

?R．

點評：本題綜合應用了動能定理求摩擦力做的功、圓周運動及圓周運動中能過最高點的條件，對動能定理、圓周運動部分的內容考查的較全，是圓周運動部分的一個好題．